《2025年暑假生活电子工业出版社中职高一数学》

15. 下列方程各表示什么图形？若表示圆,求出其圆心坐标和半径.
(1)$ x^2 + y^2 - 3x = 0 $表示圆，圆心坐标为$(\frac{3}{2},0)$，半径为$\frac{3}{2}$
(2)$ x^2 + y^2 - 3x - 6y = 0 $表示圆，圆心坐标为$(\frac{3}{2},3)$，半径为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
(3)$ x^2 + y^2 - 4x - 2y - 1 = 0 $表示圆，圆心坐标为$(2,1)$，半径为$\sqrt{6}$

答案： 【解析】：
对于圆的一般方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0$（$D^{2}+E^{2}-4F＞0$），其圆心坐标为$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$，半径$r=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$。
(1) 对于方程$x^{2}+y^{2}-3x = 0$，其中$D=-3$，$E = 0$，$F = 0$。
$D^{2}+E^{2}-4F=(-3)^{2}+0^{2}-4×0 = 9＞0$，所以它表示圆。
圆心坐标为$(-\frac{-3}{2},-\frac{0}{2})=(\frac{3}{2},0)$，半径$r=\frac{1}{2}\sqrt{(-3)^{2}+0^{2}-4×0}=\frac{3}{2}$。
(2) 对于方程$x^{2}+y^{2}-3x - 6y = 0$，其中$D=-3$，$E=-6$，$F = 0$。
$D^{2}+E^{2}-4F=(-3)^{2}+(-6)^{2}-4×0=9 + 36=45＞0$，所以它表示圆。
圆心坐标为$(-\frac{-3}{2},-\frac{-6}{2})=(\frac{3}{2},3)$，半径$r=\frac{1}{2}\sqrt{(-3)^{2}+(-6)^{2}-4×0}=\frac{1}{2}\sqrt{45}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
(3) 对于方程$x^{2}+y^{2}-4x - 2y - 1 = 0$，其中$D=-4$，$E=-2$，$F=-1$。
$D^{2}+E^{2}-4F=(-4)^{2}+(-2)^{2}-4×(-1)=16 + 4 + 4=24＞0$，所以它表示圆。
圆心坐标为$(-\frac{-4}{2},-\frac{-2}{2})=(2,1)$，半径$r=\frac{1}{2}\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}-4×(-1)}=\frac{1}{2}\sqrt{24}=\sqrt{6}$。
【答案】：
(1) 表示圆，圆心坐标为$(\frac{3}{2},0)$，半径为$\frac{3}{2}$；
(2) 表示圆，圆心坐标为$(\frac{3}{2},3)$，半径为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；
(3) 表示圆，圆心坐标为$(2,1)$，半径为$\sqrt{6}$。

16. 已知圆 $ C $ 经过点 $ O(0,0) $ 和 $ B(-4,0) $,且圆心 $ C $ 在直线 $ x - y - 3 = 0 $ 上,求圆 $ C $ 的方程.

答案： 【解析】：
1. 首先求线段$OB$的垂直平分线方程：
已知$O(0,0)$，$B(-4,0)$，线段$OB$在$x$轴上，$OB$中点坐标为$(\frac{0 - 4}{2},\frac{0+0}{2})=(-2,0)$。
因为$OB$平行于$x$轴，所以$OB$的垂直平分线方程为$x=-2$。
2. 然后联立垂直平分线方程与已知直线方程求圆心坐标：
因为圆心$C$既在$OB$的垂直平分线$x = - 2$上，又在直线$x - y-3 = 0$上，将$x=-2$代入$x - y-3 = 0$，可得$-2 - y-3 = 0$。
解上述方程：
移项得$y=-2 - 3=-5$，所以圆心$C$的坐标为$(-2,-5)$。
3. 最后求圆的半径$r$并写出圆的方程：
已知圆心$C(-2,-5)$，圆经过点$O(0,0)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，则半径$r=\sqrt{(-2 - 0)^2+(-5 - 0)^2}=\sqrt{4 + 25}=\sqrt{29}$。
根据圆的标准方程$(x - a)^2+(y - b)^2=r^2$（其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径），可得圆$C$的方程为$(x + 2)^2+(y + 5)^2 = 29$。
【答案】：$(x + 2)^2+(y + 5)^2 = 29$