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小明的探索
小明在学习了二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方,如$3+2\sqrt {2}=(1+\sqrt {2})^{2}$,善于思考的小明进行了如下探索:
设$a+b\sqrt {2}=(m+n\sqrt {2})^{2}$(其中a,b,m,n均为正整数),则有$a+b\sqrt {2}=m^{2}+2mn\sqrt {2}+2n^{2}$,那么$a=m^{2}+2n^{2},b=2mn$.
这样,小明找到了把$a+b\sqrt {2}$的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若$a+b\sqrt {3}=(m+n\sqrt {3})^{2}$,用含m,n的式子分别表示a,b,得$a=$
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:
(3)若$a+4\sqrt {3}=(m+n\sqrt {3})^{2}$,且a,b,m,n均为正整数,求a的值.
解:由$b=2mn$得$4=2mn$,即$mn=2$.
$\because a,m,n$均为正整数,$mn=1×2$或$mn=2×1$,
$\therefore m=1,n=2$或$m=2,n=1$.
当$m=1,n=2$时,$a=m^{2}+3n^{2}=1^{2}+3×2^{2}=13$;当$m=2,n=1$时,$a=m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3×1^{2}=7$.
故a的值为
小明在学习了二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方,如$3+2\sqrt {2}=(1+\sqrt {2})^{2}$,善于思考的小明进行了如下探索:
设$a+b\sqrt {2}=(m+n\sqrt {2})^{2}$(其中a,b,m,n均为正整数),则有$a+b\sqrt {2}=m^{2}+2mn\sqrt {2}+2n^{2}$,那么$a=m^{2}+2n^{2},b=2mn$.
这样,小明找到了把$a+b\sqrt {2}$的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若$a+b\sqrt {3}=(m+n\sqrt {3})^{2}$,用含m,n的式子分别表示a,b,得$a=$
$m^{2}+3n^{2}$
,$b=$$2mn$
.(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:
4
$+$2
$\sqrt {3}=$(1
$+$1
$\sqrt {3})^{2}$(3)若$a+4\sqrt {3}=(m+n\sqrt {3})^{2}$,且a,b,m,n均为正整数,求a的值.
解:由$b=2mn$得$4=2mn$,即$mn=2$.
$\because a,m,n$均为正整数,$mn=1×2$或$mn=2×1$,
$\therefore m=1,n=2$或$m=2,n=1$.
当$m=1,n=2$时,$a=m^{2}+3n^{2}=1^{2}+3×2^{2}=13$;当$m=2,n=1$时,$a=m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3×1^{2}=7$.
故a的值为
7或13
.
答案：
解:
(1)$m^{2}+3n^{2}$ $2mn$
(2)4 2 1 1(答案不唯一)
(3)由$b=2mn$得$4=2mn$,即$mn=2$.
$\because a,m,n$均为正整数,$mn=1×2$或$mn=2×1$,
$\therefore m=1,n=2$或$m=2,n=1$.
当$m=1,n=2$时,$a=m^{2}+3n^{2}=1^{2}+3×2^{2}=13$;当$m=2,n=1$时,$a=m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3×1^{2}=7$.
(1)$m^{2}+3n^{2}$ $2mn$
(2)4 2 1 1(答案不唯一)
(3)由$b=2mn$得$4=2mn$,即$mn=2$.
$\because a,m,n$均为正整数,$mn=1×2$或$mn=2×1$,
$\therefore m=1,n=2$或$m=2,n=1$.
当$m=1,n=2$时,$a=m^{2}+3n^{2}=1^{2}+3×2^{2}=13$;当$m=2,n=1$时,$a=m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3×1^{2}=7$.
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