《2025年暑假作业知识出版社八年级数学人教版》

12. 已知直线 $ y = k x + b $ 经过 $ M ( 0 , 2 ) , N ( 1 , 3 ) $ 两点.
(1)试判断直线 $ y = k x + b $ 是否经过点 $ ( - 1 , 1 ) $ ;(是)
(2)求直线 $ y = k x + b $ 与两坐标轴围成的三角形的面积.(2)

答案： 解：
(1)
∵直线 $ y = kx + b $ 经过点 $ (0,2) $ 和点 $ (1,3) $，
∴ $ \begin{cases} b = 2, \\ k + b = 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 1, \\ b = 2. \end{cases} $
∴直线为 $ y = x + 2 $.
把 $ x = -1 $ 代入，得 $ y = -1 + 2 = 1 $.
∴直线 $ y = kx + b $ 经过点 $ (-1,1) $.
(2)由直线 $ y = x + 2 $ 可知直线与 x 轴的交点为 $ (-2,0) $，
∴直线 $ y = kx + b $ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $ \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2 $.

13. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 $ A ( 4 , 2 ) $ ,过点 $ B ( 6 , 0 ) $ 的直线 $ A B $ 与直线 $ O A $ 相交于点 $ A $ ,与 $ y $ 轴相交于点 $ C $ ,动点 $ M $ 沿路线 $ O \to A \to C $ 运动.
(1)求直线 $ A B $ 对应的函数解析式;
(2)求 $ \triangle O A C $ 的面积;
(3)当 $ \triangle O M C $ 的面积是 $ \triangle O A C $ 的面积的 $ \frac { 1 } { 4 } $ 时,求出此时点 $ M $ 的坐标.
(1)设直线 AB 对应的函数解析式是 $ y = kx + b $，根据题意，得 $ \begin{cases} 4k + b = 2, \\ 6k + b = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = -1, \\ b = 6, \end{cases} $
故直线 AB 对应的函数解析式是$ y = -x + 6 $.
(2)在 $ y = -x + 6 $ 中，令 $ x = 0 $，得 $ y = 6 $，故 $ S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2} × 6 × 4 = $12.
(3)设直线 OA 对应的函数解析式是 $ y = mx $，则 $ 4m = 2 $，解得 $ m = \frac{1}{2} $，则直线 OA 对应的函数解析式是 $ y = \frac{1}{2}x $.
设点 M 的横坐标为 $ x_M $. ∵ $ \triangle OMC $ 的面积是 $ \triangle OAC $ 的面积的 $ \frac{1}{4} $，∴ $ \frac{1}{2} × 6x_M = \frac{1}{4} × 12 $，∴ $ x_M = 1 $.
当点 M 在线段 OA 上运动时，在 $ y = \frac{1}{2}x $ 中，当 $ x = 1 $ 时，$ y = \frac{1}{2} $，则点 M 的坐标是$ \left( 1,\frac{1}{2} \right) $；
当点 M 在线段 AC 上运动时，在 $ y = -x + 6 $ 中，当 $ x = 1 $ 时，$ y = 5 $，则点 M 的坐标是$ (1,5) $. 故点 M 的坐标是 $ M \left( 1,\frac{1}{2} \right) $ 或 $ M(1,5) $.

答案： 解：
(1)设直线 AB 对应的函数解析式是 $ y = kx + b $，根据题意，得 $ \begin{cases} 4k + b = 2, \\ 6k + b = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = -1, \\ b = 6, \end{cases} $
故直线 AB 对应的函数解析式是 $ y = -x + 6 $.
(2)在 $ y = -x + 6 $ 中，令 $ x = 0 $，得 $ y = 6 $，故 $ S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12 $.
(3)设直线 OA 对应的函数解析式是 $ y = mx $，则 $ 4m = 2 $，解得 $ m = \frac{1}{2} $，则直线 OA 对应的函数解析式是 $ y = \frac{1}{2}x $.
设点 M 的横坐标为 $ x_M $.
∵ $ \triangle OMC $ 的面积是 $ \triangle OAC $ 的面积的 $ \frac{1}{4} $，
∴ $ \frac{1}{2} × 6x_M = \frac{1}{4} × 12 $，
∴ $ x_M = 1 $.
当点 M 在线段 OA 上运动时，在 $ y = \frac{1}{2}x $ 中，当 $ x = 1 $ 时，$ y = \frac{1}{2} $，则点 M 的坐标是 $ \left( 1,\frac{1}{2} \right) $；
当点 M 在线段 AC 上运动时，在 $ y = -x + 6 $ 中，当 $ x = 1 $ 时，$ y = 5 $，则点 M 的坐标是 $ (1,5) $. 故点 M 的坐标是 $ M \left( 1,\frac{1}{2} \right) $ 或 $ M(1,5) $.