《2025年暑假作业知识出版社八年级数学人教版》

15. 在四边形 ABCD 中,$AB// CD$,AC 平分$∠BAD,CE// AD$交 AB 于点 E.
(1)求证:四边形 AECD 是菱形;
(2)若点 E 是 AB 的中点,试判断$△ABC$的形状,并说明理由.

(1)证明：$\because AB // CD$，$\therefore AE // CD$。
又 $CE // AD$，
$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是平行四边形。
$\because AC$ 平分 $ \angle BAD$，$\therefore \angle CAE = \angle CAD$。
又 $AD // CE$，$\therefore \angle ACE = \angle CAD$。
$\therefore \angle ACE = \angle CAE$。$\therefore AE = CE$。
$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是菱形。
(2)解：$\triangle ABC$ 是直角三角形。
理由：$\because E$ 是 $AB$ 中点，$\therefore AE = BE$。
又 $AE = CE$，$\therefore BE = CE$。$\therefore \angle B = \angle BCE$。
$\because \angle B + \angle BCA + \angle BAC = 180^{\circ}$，
$\therefore 2 \angle BCE + 2 \angle ACE = 180^{\circ}$。
$\therefore \angle BCE + \angle ACE = 90^{\circ}$。
即 $ \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle ABC$ 是直角三角形。

答案：
(1)证明：$\because AB // CD$，$\therefore AE // CD$。
又 $CE // AD$，
$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是平行四边形。
$\because AC$ 平分 $ \angle BAD$，$\therefore \angle CAE = \angle CAD$。
又 $AD // CE$，$\therefore \angle ACE = \angle CAD$。
$\therefore \angle ACE = \angle CAE$。$\therefore AE = CE$。
$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是菱形。
(2)解：$\triangle ABC$ 是直角三角形。
理由：$\because E$ 是 $AB$ 中点，$\therefore AE = BE$。
又 $AE = CE$，$\therefore BE = CE$。$\therefore \angle B = \angle BCE$。
$\because \angle B + \angle BCA + \angle BAC = 180^{\circ}$，
$\therefore 2 \angle BCE + 2 \angle ACE = 180^{\circ}$。
$\therefore \angle BCE + \angle ACE = 90^{\circ}$。
即 $ \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle ABC$ 是直角三角形。

16. 将矩形 ABCD 折叠,使 A,C 重合,折痕交 BC 于点 E,交 AD 于点 F.
(1)求证:四边形 AECF 为菱形;
(2)若$AB=12,BC=18$,求菱形 AECF 的边长.

(1)证明：$\because$ 将矩形 $ABCD$ 折叠，使 $A$，$C$ 重合，折痕为 $EF$，
$\therefore OA = OC$，$EF \perp AC$，$EA = EC$。
$\because AD // BC$，$\therefore \angle FAC = \angle ECA$。
在 $ \triangle AOF$ 和 $ \triangle COE$ 中，
$\because \angle FAO = \angle ECO$，$AO = CO$，$\angle AOF = \angle COE$，
$\therefore \triangle AOF \cong \triangle COE (ASA)$。$\therefore OF = OE$。
$\because OA = OC$，$\therefore$ 四边形 $AECF$ 为平行四边形。
$\because AC \perp EF$，$\therefore$ 四边形 $AECF$ 为菱形。
(2)解：设菱形的边长为 $x$，则 $BE = BC - CE = 18 - x$，$AE = x$。
在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABE$ 中，$\because BE^{2} + AB^{2} = AE^{2}$，
$\therefore (18 - x)^{2} + 12^{2} = x^{2}$，解得 $x = $13。
$\therefore$ 菱形 $AECF$ 的边长为13。

答案：
(1)证明：$\because$ 将矩形 $ABCD$ 折叠，使 $A$，$C$ 重合，折痕为 $EF$，
$\therefore OA = OC$，$EF \perp AC$，$EA = EC$。
$\because AD // BC$，$\therefore \angle FAC = \angle ECA$。
在 $ \triangle AOF$ 和 $ \triangle COE$ 中，
$\because \angle FAO = \angle ECO$，$AO = CO$，$\angle AOF = \angle COE$，
$\therefore \triangle AOF \cong \triangle COE (ASA)$。$\therefore OF = OE$。
$\because OA = OC$，$\therefore$ 四边形 $AECF$ 为平行四边形。
$\because AC \perp EF$，$\therefore$ 四边形 $AECF$ 为菱形。
(2)解：设菱形的边长为 $x$，则 $BE = BC - CE = 18 - x$，$AE = x$。
在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABE$ 中，$\because BE^{2} + AB^{2} = AE^{2}$，
$\therefore (18 - x)^{2} + 12^{2} = x^{2}$，解得 $x = 13$。
$\therefore$ 菱形 $AECF$ 的边长为 13。