《2025年暑假作业知识出版社八年级数学人教版》

13. 一个按某种规律排列的数阵如图所示.
                       1 $\sqrt {2}$                           第1行
                 $\sqrt {3}$ 2 $\sqrt {5}$ $\sqrt {6}$                      第2行
         $\sqrt {7}$ $2\sqrt {2}$ 3 $\sqrt {10}$ $\sqrt {11}$ $2\sqrt {3}$            第3行
$\sqrt {13}$ $\sqrt {14}$ $\sqrt {15}$ 4 $\sqrt {17}$ $3\sqrt {2}$ $\sqrt {19}$ $2\sqrt {5}$    第4行
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根据数阵排列的规律,求第$n$(n是整数,且$n≥4$)行从左往右数第$(n-3)$个数(用含n的代数式表示).

答案： 解: 由题图中规律知, 前 $(n - 1)$ 行的数据个数为 $2 + 4 + 6 + \cdots + 2(n - 1) = n(n - 1)$ ($n$ 是整数, 且 $n \geq 4$), 所以第 $n$ 行从左往右数第 $(n - 3)$ 个数的被开方数是 $n(n - 1) + n - 3 = n^2 - 3$ ($n$ 是整数, 且 $n \geq 4$), 所以第 $n$ 行从左往右数第 $(n - 3)$ 个数是 $\sqrt{n^2 - 3}$ ($n$ 是整数, 且 $n \geq 4$).

蚂蚁和大象一样重吗?
同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧! 蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的小石粒,而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木,结果蚂蚁获得了举重冠军!
我们这里谈论的话题是:蚂蚁和大象一样重吗? 我们知道,即使是最大的蚂蚁与最小的大象,它们的体重明显不是一个级别的. 但是下面“推导”的结果却会让你大吃一惊:蚂蚁和大象一样重!
设蚂蚁的体重为x g,大象的体重为y g,它们的体重之和为2a g,即$x+y=2a$.
两边同乘$(x-y)$,得$(x+y)(x-y)=2a(x-y)$,即$x^{2}-y^{2}=2ax-2ay$.
可变形为$x^{2}-2ax=y^{2}-2ay$.
两边都加上$a^{2}$,得$(x-a)^{2}=(y-a)^{2}$.
于是$\sqrt {(x-a)^{2}}=\sqrt {(y-a)^{2}}$,可得$x - a=y - a$，所以$x=y$.
这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论,岂不荒唐! 那么问题究竟出在哪里呢? 亲爱的同学,你能找出来吗?

答案： 【解析】：本题的关键在于对等式$\sqrt{(x - a)^{2}}=\sqrt{(y - a)^{2}}$的化简。根据二次根式的性质$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert$，那么$\sqrt{(x - a)^{2}}=\vert x - a\vert$，$\sqrt{(y - a)^{2}}=\vert y - a\vert$。
已知$x$是蚂蚁体重，$y$是大象体重，且$x\lt y$，$x + y = 2a$，则$x\lt a\lt y$，所以$x - a\lt0$，$y - a\gt0$。
那么$\vert x - a\vert=-(x - a)=a - x$，$\vert y - a\vert=y - a$。
所以由$\sqrt{(x - a)^{2}}=\sqrt{(y - a)^{2}}$应该得到$\vert x - a\vert=\vert y - a\vert$，即$a - x=y - a$，而不是$x - a=y - a$。
【答案】：问题出在由$\sqrt{(x - a)^{2}}=\sqrt{(y - a)^{2}}$得出$x - a=y - a$这一步，根据二次根式性质应得到$\vert x - a\vert=\vert y - a\vert$，因为$x\lt y$且$x + y = 2a$，所以$x - a\lt0$，$y - a\gt0$，正确结果是$a - x=y - a$。