《2025年暑假作业知识出版社八年级数学人教版》

6. 如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,E是OA上任一点,CF⊥BE于点F,CF交OB于点G. 求证:OE=OG.
证明: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为正方形, $ \therefore $ 对角线 $ AC $, $ BD $ 互相垂直平分, 即 $ OB = OC $, $ OB \perp AC $. 又 $ CF \perp BE $, $ \therefore \angle BGF = \angle OEB $. $ \therefore \angle OGC = \angle BGF = \angle OEB $. $ \therefore $Rt△BOE≌Rt△COG, $ \therefore OE = OG $.

答案： 证明: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为正方形, $ \therefore $ 对角线 $ AC $, $ BD $ 互相垂直平分, 即 $ OB = OC $, $ OB \perp AC $. 又 $ CF \perp BE $, $ \therefore \angle BGF = \angle OEB $. $ \therefore \angle OGC = \angle BGF = \angle OEB $. $ \therefore \text{Rt} \triangle BOE \cong \text{Rt} \triangle COG $, $ \therefore OE = OG $.

7. 如图,把两个边长不相等的正方形放置在周长为48的长方形ABCD内,两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形ABCD的一组邻边上. 如果两个正方形的周长和为60,那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分)的周长为(D)

A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

答案： D

8. 如图,E是正方形ABCD内一点,如果△ABE是等边三角形,那么∠DCE=15°,如果DE的延长线交BC于点G,则∠BEG=45°.

答案： $15^{\circ}$ $45^{\circ}$

9. 如图,RA⊥AB,QB⊥AB,P是AB上一点,RP=PQ=a,RA=h,QB=k,∠RPA=75°,∠QPB=45°. 求AB的长.

答案：
解:过 $ R $ 作 $ BQ $ 的垂线交 $ BQ $ 的延长线于点 $ C $, 则 $ AB = RC $. $ \because \angle RPA = 75^{\circ} $, $ \angle QPB = 45^{\circ} $, $ \therefore \angle RPQ = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 45^{\circ}) = 60^{\circ} $, $ \angle PQB = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} $. 又 $ RP = PQ $, $ \therefore \triangle PRQ $ 是等边三角形. $ \therefore RP = RQ $. 又 $ \angle RQC = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 75^{\circ} $, $ \therefore \angle RQC = \angle RPA $. $ \therefore \text{Rt} \triangle APR \cong \text{Rt} \triangle CQR $. $ \therefore AB = RC = AR = h $.