《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

5. 2023年10月15日,泰州半程马拉松在当地体育公园鸣枪开跑,比赛赛道穿越泰州主城区,串联了天德湖公园、人民广场、老街、梅园、凤城河、光孝寺等城市地标及人文景观.小明家住在补给点$C$处,他发现补给点$A$,$B$,$C$组成一个三角形,青年路的一段$BD恰好与边AC$垂直,垂足为$D$.如图,若$AD = 2\mathrm{km}$,$BD = 4\mathrm{km}$,小明用速度为$1\mathrm{km}/\mathrm{min}的无人机M紧贴地面从C处出发沿着线段CA$匀速飞行,用了$10\mathrm{min}到达终点A$处.


(1)试判断$\triangle A B C$的形状,并说明理由;
$\triangle ABC$是直角三角形. 理由如下:由题意,得$AC=10km$,又$AD=2km$,∴$CD=8km$.∵$BD\perp AC$,∴$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=2\sqrt{5}km$,$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}=4\sqrt{5}km$.又$AC^{2}=100km^{2}$,∴$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$.∴$\triangle ABC$是直角三角形.
(2)若$N是CM$的中点,连接$BM$,$BN$,设无人机$M运动的时间为t\mathrm{min}$,是否存在$t$值,使得$BM = BN$?若存在,求出$t$的值;若不存在,请说明理由.
不存在. 理由如下:由题意,得$CM=tkm$,$CN=\frac{1}{2}tkm$,$DN=(8 - \frac{1}{2}t)km$,$MD=(t - 8)km$.若$BM=BN$,则$DM=DN$,即$8 - \frac{1}{2}t=t - 8$,解得$t=\frac{32}{3}$.由于$\frac{32}{3}＞10$,故$t$不存在.

答案：
(1)$\triangle ABC$ 是直角三角形. 理由如下:
由题意,得 $AC = 10km$,
又 $AD = 2km$,
∴ $CD = 8km$.
∵ $BD\perp AC$,
∴ $AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=2\sqrt{5}km$,$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}=4\sqrt{5}km$.
又 $AC^{2}=100km^{2}$,
∴ $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$.
∴ $\triangle ABC$ 是直角三角形.
(2)不存在. 理由如下:
由题意,得 $CM = tkm$,$CN=\frac{1}{2}tkm$,$DN=(8 - \frac{1}{2}t)km$,$MD=(t - 8)km$.
若 $BM = BN$,则 $DM = DN$,
即 $8 - \frac{1}{2}t=t - 8$,解得 $t=\frac{32}{3}$.
由于 $\frac{32}{3}＞10$,故 $t$ 不存在.