《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

3. 下图是由小正方形组成的网格.

(1)如图1,$A$,$B$,$C$是网格中的三个格点(即小正方形的顶点),判断$AC与BC$的数量关系和位置关系,直接写出结论,不需要说明理由;
(2)如图2,求$\angle 1 + \angle 2$的度数(要求:画出示意图并给出推导过程).

答案：

(1)$AC=BC$,且 $AC\perp BC$.
(2)如图,作 $\triangle ABC$,$\triangle DEF$,$\triangle ACD$.
∵ $BC=FE$,$\angle ABC=\angle DFE$,$AB=DF$,

∴ $\triangle ABC\cong \triangle DFE$.
∴ $\angle ACB=\angle 2$.
由图,结合勾股定理,得
$AC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$,$DC=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$,$AD=5$,
∴ $AC^{2}+DC^{2}=5 + 20 = 25 = AD^{2}$.
∴ $\triangle ACD$ 是直角三角形,且 $\angle ACD=90^{\circ}$.
∵ $\angle ACB+\angle ACD+\angle 1=180^{\circ}$,
∴ $\angle 2+\angle ACD+\angle 1=180^{\circ}$.
∴ $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}-\angle ACD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.

4. 【问题情境】某数学兴趣小组的同学想测量如图所示旗杆的高度.
【实践发现】该数学兴趣小组的同学实地勘查发现:系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度未知.
【实践探究】设计测量方案:
第一步:先测量比旗杆多出的部分绳子的长度,测得多出部分绳子的长度是$1\mathrm{m}$;
第二步:把绳子向外拉直,绳子的底端恰好接触地面的点$C$,再测量绳子底端$C与旗杆根部点B$之间的距离,测得距离为$5\mathrm{m}$.
【问题解决】设旗杆的高度$AB为x\mathrm{m}$,通过计算即可求得旗杆的高度.
(1)依题知$BC = $5$\mathrm{m}$,用含有$x的式子表示AC$为$(x + 1)$$\mathrm{m}$;
(2)请你求出旗杆的高度.
在 $Rt\triangle ABC$ 中,由勾股定理,得
$BC^{2}+AB^{2}=AC^{2}$,
即 $5^{2}+x^{2}=(x + 1)^{2}$.
解得 $x = $12.
答:旗杆的高度为12$m$.

答案：
(1)$5$ $(x + 1)$
(2)在 $Rt\triangle ABC$ 中,由勾股定理,得
$BC^{2}+AB^{2}=AC^{2}$,
即 $5^{2}+x^{2}=(x + 1)^{2}$.
解得 $x = 12$.
答:旗杆的高度为 $12m$.