《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

二次根式的“穿墙术”
▲去括号法则:-(a+b)= -a-b.这里我们可以认为负号“穿”过了括号分别与a,b作用,让每一项变成其相反数.
▲负数的奇数次幂:(-a);n+1= -α^2n+1(a为正数,n为自然数).由幂的定义可知奇数次幂括号内的符号可以随意“进出”括号而不致出错,然而这一点对于偶数次幂却不成立.
A奇数次方根:2"+/-a= -2n+va(a为正数,n为自然数).和奇数次幂类似,负号可以任意“进出”根号,但对偶数次方根却不成立,因为负数没有偶数次方根.
以上虽然是一些浅显的例子,不过都与本文的主旨相近,下面要说的是二次根式的“穿墙术”,看上去很神奇.先看一些简单的例子::$\sqrt{2}$$\frac{2}{3}$= 2$\sqrt{2}$$\frac{2}{3}$,$\sqrt{33}$$\frac{3}{8}$= 3$\sqrt{3}$$\frac{3}{8}$,$\sqrt{44}$$\frac{4}{15}$= 4$\sqrt{45}$$\frac{4}{15}$……不难发现,根号内带分数的整数部分可以“钻”到根号外面去,颇有趣味,然而这一点并非对任何数都成立,如$\sqrt{3}$$\frac{2}{3}$= $\frac{11}{3}$≠3$\sqrt{2}$$\frac{2}{3}$
于是我们期望找出具有“穿墙术”的带分数的一般例子,即求这样的带分数a$\frac{c}{b}$,使得$\frac{c}{b}$= a√$\frac{c}{b}$,其中a,b,c都是正整数,且b＞c,b,c互质.
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根据条件,有$\frac{ab+c}{b}$= $\frac{a"c}{b}$,即ab+c= a^2c,ab= c(a^2-1).
∵ b＞c,且b,c互质,∴ a= c,b= a^2-1.若记a= c= n,则b= n^2-1.故满足条件的分数为n+$\frac{n}{n^2-1}$,且有$\sqrt{n+"-1}$$\frac{n}{n^2-1}$= n^2-$\frac{n}{n^2-1}$(n为正整数,且n≥2).
可以发现,当n取正整数时,这样的带分数有无数个,我们在一般意义上解决了二次根式的“穿墙术”问题,以上结果可以看作一个公式.
我们进一步考虑一个类似的问题:形如,a-$\frac{C}{b}$= a人$\frac{C}{b}$(a,b,c都是正整数,且b＞c,b,c互质)的二次根式应该具有什么特征呢？由上式得$\sqrt{ab-c}$$\frac{ab-c}{b}$-$\frac{a"c}{b}$2,即ab-c= a^2c,ab= c(a^2+1).由于b＞c,且b,c互质,故有a= c,b= a^2+1.若记a= c= n,则b= n^2+1.因此具有以上性质的二次根式具有以下形式:
$\sqrt{n-n^2+}$$\frac{n}{n^2+1}$= n-$\frac{n}{n^2+1}$n^2+1,其中n为正整数.
任务:请你验证公式$\sqrt{n-n^2+}$$\frac{n}{n^2+1}$= n$\frac{n}{n^2+1}$(n为正整数)的正确性.
解：
先将等式右边$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$进行变形：
$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{n^{2}×\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}+1}}$
再看等式左边$\sqrt{n - \frac{n}{n^{2}+1}}$，对$n - \frac{n}{n^{2}+1}$通分可得：
$n - \frac{n}{n^{2}+1}=\frac{n(n^{2}+1)-n}{n^{2}+1}=\frac{n^{3}+n - n}{n^{2}+1}=\frac{n^{3}}{n^{2}+1}$
所以$\sqrt{n - \frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}+1}}$
即等式左边$=$等式右边，公式$\sqrt{n - \frac{n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$（$n$为正整数）是正确的。

答案： 解：
先将等式右边$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$进行变形：
$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{n^{2}×\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}+1}}$
再看等式左边$\sqrt{n - \frac{n}{n^{2}+1}}$，对$n - \frac{n}{n^{2}+1}$通分可得：
$n - \frac{n}{n^{2}+1}=\frac{n(n^{2}+1)-n}{n^{2}+1}=\frac{n^{3}+n - n}{n^{2}+1}=\frac{n^{3}}{n^{2}+1}$
所以$\sqrt{n - \frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}+1}}$
即等式左边$=$等式右边，公式$\sqrt{n - \frac{n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$（$n$为正整数）是正确的。