《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

2. 如图,有一架秋千,当它静止在$AD$的位置时,踏板离地的竖直高度为$0.6\mathrm{m}$,将秋千$AD往前推送3\mathrm{m}$,到达$AB$的位置,此时,秋千的踏板离地的竖直高度为$1.6\mathrm{m}$,秋千的绳索始终保持拉直的状态.
(1)求秋千绳索的长度;
(2)如果想要踏板离地的垂直高度为$2.6\mathrm{m}$,需要将秋千$AD$往前推送4$\mathrm{m}$.

答案：
(1)由题意,得 $BF=1.6m$,$BC=3m$,$DE=0.6m$,
∵ $BF\perp EF$,$AE\perp EF$,$BC\perp AE$,
∴ 四边形 $BCEF$ 是矩形.
∴ $CE=BF=1.6m$.
∴ $CD=CE-DE=1.6 - 0.6 = 1(m)$.
∵ $BC\perp AC$,
∴ $\angle ACB=90^{\circ}$.
设秋千绳索的长度为 $xm$,
则 $AB=AD=xm$,$AC=AD - CD=(x - 1)m$.
在 $Rt\triangle ABC$ 中,由勾股定理,得 $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,
即 $(x - 1)^{2}+3^{2}=x^{2}$,
解得 $x = 5$,
即秋千绳索的长度是 $5m$.
(2)$4$

1. 勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,当两个全等的直角三角形如图摆放时,也可以用面积法来证明,请将下面的说理过程补充完整:
证明:如图,连接$DB$,过点$D作BC边上的高DF$,交$BC的延长线于点F$,则四边形$DFCE$为矩形,所以$DF = EC = $$b - a$.(用含字母的代数式表示)
因为$S _ { \text { 四边形 } A B C D } = S _ { \triangle A C D } +$$S_{\triangle ABC}$$=$$\frac{1}{2}b^{2}$$+ \frac { 1 } { 2 } a b$,
$S _ { \text { 四边形 } A B C D } = S _ { \triangle A D B } +$$S_{\triangle DCB}$$= \frac { 1 } { 2 } c ^ { 2 } +$$\frac{1}{2}a(b - a)$,
所以$\frac{1}{2}b^{2}$$+ \frac { 1 } { 2 } a b = \frac { 1 } { 2 } c ^ { 2 } +$$\frac{1}{2}a(b - a)$.
所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

答案： $b - a$ $S_{\triangle ABC}$ $\frac{1}{2}b^{2}$ $S_{\triangle DCB}$ $\frac{1}{2}a(b - a)$ $\frac{1}{2}b^{2}$ $\frac{1}{2}a(b - a)$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$