《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

4.小明受《乌鸦喝水》故事的启发,利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作：

(1)求放入一个小球后水桶中水面升高的高度；
答：放入一个小球后水桶中水面升高2cm.
(2)求放入小球后水桶中水面的高度$y$(单位：$cm$)与小球个数(单位：个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
答：放入小球后水桶中水面的高度y(单位:cm)与小球个数x(单位:个)之间的一次函数解析式为$y=30+2x$.
(3)水桶中至少放入几个小球时有水溢出？
答：水桶中至少放入10个小球时有水溢出.

答案：
(1)根据题意，得$(36-30)÷3=2(cm)$.
答：放入一个小球后水桶中水面升高2cm.
(2)设放入小球后水桶中水面的高度y(单位:cm)与小球个数x(单位:个)之间的一次函数解析式为$y=kx+b$，
由题意，得$\left\{\begin{array}{l} 30=b,\\ 36=3k+b,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} k=2,\\ b=30.\end{array}\right. $
∴　放入小球后水桶中水面的高度y(单位:cm)与小球个数x(单位:个)之间的一次函数解析式为$y=30+2x$.
(3)由题意，得$30+2x＞49$，
解得$x＞\frac {19}{2}$.
∵　x为整数，
∴　x最小为10.
∴　水桶中至少放入10个小球时有水溢出.

5.数学中,常对同一图形的面积用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,这是一种重要的数学方法.如图1,两个直角边分别为$a$,$b$,且斜边长为$c的直角三角形和一个两条直角边都是c$的直角三角形拼成一个梯形,据此可得到什么结论？
解：三个直角三角形其面积分别为$\frac{1}{2}ab$,$\frac{1}{2}ab和\frac{1}{2}c^{2}$,
直角梯形的面积为$\frac{1}{2}(a + b)(a + b)$.
由图形可知$\frac{1}{2}(a + b)(a + b)= \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$.
整理得$(a + b)^{2}= 2ab + c^{2}$,$a^{2}+b^{2}+2ab= c^{2}+2ab$.
$\therefore a^{2}+b^{2}= c^{2}$.
结论：在直角边长分别为$a$,$b$,且斜边长为$c$的直角三角形中,$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.
(1)【类比尝试】

如图2,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为$1$,点$A$,$B$,$C$都在格点上,若$BD是\triangle ABC的边AC$上的高,求：
①$\triangle ABC$的面积为7；
②$BD$的长为$\frac {7\sqrt {5}}{5}$.
(2)【拓展探究】
如图3,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}:y= \frac{3}{4}x + 6与x$轴、$y轴分别交于点A和点B$,直线$l_{2}$经过坐标原点,且$l_{2}\perp l_{1}$,垂足为$C$.
①点$A$的坐标为$(-8,0)$，点$B$的坐标为$(0,6)$；
②点$C到x$轴的距离为$\frac {96}{25}$.

答案：
(1)①$\triangle ABC$的面积为7. ②BD的长为$\frac {7\sqrt {5}}{5}$.
(2)①$A(-8,0)$，$B(0,6)$. ②点C到x轴的距离为$\frac {96}{25}$.