《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

2. 问题背景:
在$\triangle A B C$中,$A B$,$B C$,$A C三边的长分别为\sqrt { 5 }$,$\sqrt { 10 }$,$\sqrt { 13 }$,求这个三角形的面积.小明在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点$\triangle A B C$(即$\triangle A B C$三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求$\triangle A B C$的高,借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将$\triangle A B C$的面积直接填写在横线上:______;

思维拓展:
(2)我们把上述求$\triangle A B C$面积的方法叫做构图法.若$\triangle A B C三边的长分别为\sqrt { 2 }$,$\sqrt { 13 }$,$\sqrt { 17 }$,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的$\triangle A B C$,并求出它的面积.(画出一种情况即可)
探索创新:
(3)若$\triangle A B C三边的长分别为\sqrt { 5 } a$,$2 \sqrt { 2 } a$,$\sqrt { 17 } a ( a ＞ 0 )$,请利用图3的正方形网格(每个小正方形的边长为$a$)画出相应的$\triangle A B C$,并求出它的面积.(画出一种情况即可)
(4)若$\triangle A B C三边的长分别为\sqrt { m ^ { 2 } + 16 n ^ { 2 } }$,$\sqrt { 9 m ^ { 2 } + 4 n ^ { 2 } }$,$2 \sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } ( m ＞ 0 , n ＞ 0$,且$m \neq n )$,试运用构图法求出这个三角形的面积.

答案：

(1)$\frac{7}{2}$
(2)如图 1,$\triangle ABC$ 即为所求.

$S_{\triangle ABC}=2× 4-\frac{1}{2}× 2× 3-\frac{1}{2}× 4× 1-\frac{1}{2}× 1× 1=\frac{5}{2}$.
(3)如图 2,$\triangle ABC$ 即为所求.

$S_{\triangle ABC}=2a× 4a-\frac{1}{2}× 2a× 2a-\frac{1}{2}× 2a× a-\frac{1}{2}× 4a× a=3a^{2}$.
(4)如图 3,$\triangle ABC$ 即为所求.

$S_{\triangle ABC}=3m× 4n-\frac{1}{2}× 3m× 2n-\frac{1}{2}× 2m× 2n-\frac{1}{2}× 4n× m=5mn$.