《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

1.小星在学习中遇到这样一个问题：如图1,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$AB= 6cm$,$AC= 10cm$,点$E在线段CB$上,且$EC= 2cm$,$P是线段BE$上一动点,连接$AP$,以点$A$为圆心,$AP的长为半径画弧交线段AE于点Q$,连接$PQ$,当$BP是\triangle PQE中某条边的1.5$倍时,求$BP$的长.小星的探究过程如下：


(1)小星分析发现,有三种可能存在的情况,其中,当$BP= 1.5PE$时,通过推理计算可得$BP$的长为______$cm$.但当他进一步研究其余两种情况时,发现很难通过常规的推理计算得到$BP$的长,于是尝试利用学习函数的经验解决问题.
(2)小星将线段$BP的长度记为x$,$PQ和QE的长度分别记为y_{1}$,$y_{2}$,并分别对$y_{1}$,$y_{2}随着x$的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量,得到了下表中的几组对应值：
①在探究过程中,小星发现当$BP= 0$时,无须测量可以求出$QE$的长,此时$QE$的长约为______$cm$(结果精确到$0.01$.参考数据：$\sqrt{2}\approx 1.414$).
②利用表格中的数据,小星已经在图2所示的平面直角坐标系中画出了$y_{1}关于x$的函数图象,请你根据上文中$y_{2}和x$的7组对应值,在此平面直角坐标系中描点,并画出$y_{2}关于x$的函数图象.
(3)小星发现,想用函数图象彻底解决这个问题,还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象,请直接写出这个函数的解析式：______,并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(4)请结合图象直接写出：当$BP是PQ或QE的1.5$倍时,$BP$的长约为______(结果精确到$0.1cm$).

答案：

(1)3.6
(2)①2.48
②$y_{2}$关于x的函数图象如图所示.

(3)$y=\frac {2}{3}x$
该函数的图象如图所示.
(4)2.8cm或3.1cm