《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

亲爱的小伙伴,关于根号,你了解多少？
根号是一个数学符号,用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号.如果αⁿ= b,
那么a是b开n次方的结果,记为a=ⁿ√b.开n次方用”ⁿ√”表示.
现在,我们都习以为常地使用根号,并感到它使用起来既简洁又方便.那么根号是怎样产
生和演变成现在这种样子的呢？
古时候,埃及人用记号“一”表示平方根.印度人在开平方时,在被开方数的前面写上
“ka”.在1480年前后,德国人用“.”表示平方根,用“..”表示四次方根,用“...”表示
立方根.如,.3表示$\sqrt{3}$.到了16世纪初,小点带上了一条尾巴,这可能是因为书写快时带上
的,在此基础上演变成了“√”,如1525年,德国数学家鲁道夫的代数书中就用√8表示$\sqrt{8}$
1629年,荷兰数学家吉拉德在其著作中,将指数放在“√”的左上方,用以表示开几次方
根,如开三次方根写为“³√”.但对于开四次方根,他使用了“√√”.1637年,笛卡儿在其《几何
学》一书中第一个应用了现代平方根符号“√”.笛卡儿认为,当被开方数是一个多项式时,
为了避免混淆,可在“√”上面加一条横线“-”,把几项连起来,这个创造既自然又超凡.
“√”表示开平方,本来“√”的左上角应写上一个小“2”,但因为数学上经常会出现开
平方的运算,所以后来便把这个“2”略去,只用“√”来表示开平方,但开立方、开四次方……
则必须在“√”的左上角写上“3”“4”……例如³√27、⁴√81之类,以示区别.
在根号的演变过程中,除了上述表示方法,还有其他的表示方法,随着时间的推移,人们经
过选择、淘汰,最终认定了现在使用的根号.
任务:你能区分根式、整式、分式吗？请举例说明.
区分根式、整式、分式
- **根式**：形如$\sqrt[n]{a}$（$n$是正整数，$n\geqslant2$，$a$是整式）的式子叫做根式。例如$\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{x + 1}$。其中$\sqrt{2}$是二次根式（$n = 2$时，$2$可省略），$\sqrt[3]{x + 1}$是三次根式。
- **整式**：单项式和多项式统称为整式。
单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。例如$3x$，$5$，$a$ 。
多项式：几个单项式的和叫做多项式。例如$2x+3y$，$x^{2}-2x + 1$。
- **分式**：一般地，如果$A$、$B$（$B\neq0$）表示两个整式，且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。例如$\frac{1}{x}$（$x\neq0$），$\frac{x + y}{x - y}$（$x\neq y$）。

答案： 区分根式、整式、分式
- **根式**：形如$\sqrt[n]{a}$（$n$是正整数，$n\geqslant2$，$a$是整式）的式子叫做根式。例如$\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{x + 1}$。其中$\sqrt{2}$是二次根式（$n = 2$时，$2$可省略），$\sqrt[3]{x + 1}$是三次根式。
整式**：单项式和多项式统称为整式。
单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。例如$3x$，$5$，$a$ 。
多项式：几个单项式的和叫做多项式。例如$2x+3y$，$x^{2}-2x + 1$。
分式**：一般地，如果$A$、$B$（$B\neq0$）表示两个整式，且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。例如$\frac{1}{x}$（$x\neq0$），$\frac{x + y}{x - y}$（$x\neq y$）。
验证公式$\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$（$n$为正整数）的正确性
解：
先化简等式左边$\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}$：
对$n-\frac{n}{n^{2}+1}$进行通分，$n=\frac{n(n^{2}+1)}{n^{2}+1}$，则$n-\frac{n}{n^{2}+1}=\frac{n(n^{2}+1)-n}{n^{2}+1}$。
展开分子$n(n^{2}+1)-n=n^{3}+n - n=n^{3}$。
所以$\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}+1}}$。
再化简等式右边$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$：
根据根式运算法则$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{n^{2}}\cdot\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$。
根据$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a\geqslant0,b\geqslant0$），则$\sqrt{n^{2}}\cdot\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{n^{2}\cdot\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}+1}}$。
因为等式左边$\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}+1}}$，等式右边$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}+1}}$，所以$\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}$（$n$为正整数），公式得证。