《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

4.[阅读材料]
像($\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$)($\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$)= 3,$\sqrt{a}$.$\sqrt{a}$= a(a≥0),两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.
例如,$\sqrt{3}与\sqrt{3}$,$\sqrt{2}$+1与$\sqrt{2}$-1,2$\sqrt{3}$+3$\sqrt{5}$与2$\sqrt{3}$-3$\sqrt{5}$等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.
(1)3-$\sqrt{2}$的有理化因式为______3+$\sqrt{2}$;
(2)化简:$\frac{2}{3+\sqrt{3}}$=______-1+$\sqrt{3}$;
(3)①如图,在△ABC中,∠CAB与∠CBA的平分线相交于点P,若△ABC的周长为2$\sqrt{5}$+4,面积为3,则点P到AB边的距离为______3$\sqrt{5}$-6;
②已知有理数a,b满足$\frac{a}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{b}{\sqrt{2}-1}$= -1+2$\sqrt{2}$,求a,b的值.解得______$\left\{\begin{array}{l}a=1,\\ b=2\end{array}\right.$

答案：
(1)$3+\sqrt{2}$
(2)$-1-\sqrt{3}$
(3)①$3\sqrt{5}-6$ ②$\left\{\begin{array}{l}a=1,\\ b=2\end{array}\right.$

5.规定(a,b)表示一对数对,给出如下定义:m= $\frac{1}{\sqrt{a}}$,n= $\sqrt{b}$(a＞0,b＞0).将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“对称数对”.例如:数对(4,1)的一对“对称数对”为($\frac{1}{2}$,1)与(1,$\frac{1}{2}$).
(1)数对(4,3)的一对“对称数对”是$(\frac{1}{2},\sqrt{3})$与$(\sqrt{3},\frac{1}{2})$;
(2)若数对(2,y)的一对“对称数对”相同,则y的值是多少?
(3)若数对(a,b)的一个“对称数对"是($\sqrt{5}$,3$\sqrt{2}$),求a,b的值.

答案：
(1)$(\frac{1}{2},\sqrt{3})$ $(\sqrt{3},\frac{1}{2})$
(2)由题意，得$m=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},n=\sqrt{y}$，
$\therefore$ 数对$(2,y)$的一对“对称数对”为$(\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{y})$与$(\sqrt{y},\frac{\sqrt{2}}{2})$。
$\because$ 数对$(2,y)$的一对“对称数对”相同，
$\therefore \sqrt{y}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\therefore y=\frac{1}{2}$。
(3)$\because$ 数对$(a,b)$的一个“对称数对”是$(\sqrt{5},3\sqrt{2})$，
$\therefore \frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{5},\sqrt{b}=3\sqrt{2}$，或$\frac{1}{\sqrt{a}}=3\sqrt{2},\sqrt{b}=\sqrt{5}$。
$\therefore a=\frac{1}{5},b=18$，或$a=\frac{1}{18},b=5$。