《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

4. 定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角,那么把这条对角线叫做“美妙线”,该四边形叫做“美妙四边形”. 如图,在四边形ABDC中,对角线BC平分∠ACD和∠ABD,那么对角线BC叫做“美妙线”,四边形ABDC就称为“美妙四边形”.
问题：(1)下列四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形,其中是“美妙四边形”的有______个；
(2)已知四边形ABCD是“美妙四边形”,AB= 3+√3,∠BAD= 60°,∠ABC= 90°,求四边形ABCD的面积. (画出图形并写出解答过程)

答案：
4.
(1)2
(2)①当AC是"美妙线"时,如图1.
∵ ∠BAD=60°,AC平分∠BAD和∠BCD,
∴ ∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°,∠BCA=∠DCA.
在△ABC中,∠B=90°,∠BAC=30°,AB=3+$\sqrt{3}$,
设BC=x,则AC=2x.
根据勾股定理,得$(2x)^{2}-x^{2}=(3+\sqrt{3})^{2}$.
解得$x=\sqrt{3}+1$,即$BC=\sqrt{3}+1$.
在△ABC和△ADC中,$\begin{cases}∠BAC=∠DAC,\\AC=AC,\\∠BCA=∠DCA,\end{cases}$
∴ △ABC≌△ADC.
∴ $S_{四边形ABCD}=2S_{△ABC}=2×\frac{1}{2}×(3+\sqrt{3})×(\sqrt{3}+1)=6+4\sqrt{3}$.

②当BD是"美妙线"时,如图2,过点D作DH⊥AB于点H.
∵ ∠ABC=90°,BD平分∠ABC和∠ADC,
∴ ∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°,∠ADB=∠CDB.
∵ DH⊥AB,
∴ ∠DHA=∠DHB=90°.
∴ ∠BDH=45°.
∴ ∠HBD=∠BDH.
∴ BH=DH.
∵ ∠BAD=60°,
∴ ∠ADH=30°.
设AH=a,则AD=2a.
∴ $DH=BH=\sqrt{3}a$.
∴ $a+\sqrt{3}a=3+\sqrt{3}$.
∴ $a=\sqrt{3}$.
∴ DH=3.
在△ABD和△CBD中,$\begin{cases}∠ABD=∠CBD,\\BD=BD,\\∠ADB=∠CDB,\end{cases}$
∴ △ABD≌△CBD.
∴ $S_{四边形ABCD}=2S_{△ABD}=2×\frac{1}{2}×3×(3+\sqrt{3})=9+3\sqrt{3}$.
综上所述,四边形ABCD的面积为$6+4\sqrt{3}$或$9+3\sqrt{3}$.

5. 在平面直角坐标系中,有点A(0,4),B(9,4),C(12,0).
已知点P从点A出发沿AB路线向点B运动,同时,点Q从点C出发沿CO路线向点O运动,运动速度都是每秒一个单位长度,运动时间为t秒.
(1)当四边形AQCB是平行四边形时,求t的值；9
(2)连接PQ,当四边形APQO是矩形时,求t的值.6

答案： 5.
(1)当四边形AQCB是平行四边形时,有AB=CQ.
∵ A(0,4),B(9,4),C(12,0),
∴ AB=9,OC=12,AB//OC.
∵ CQ=t,
∴ t=9.
∴ 当四边形AQCB是平行四边形时,t的值为9.
(2)当四边形APQO是矩形时,有AP=OQ.
∵ AP=t,OQ=OC-CQ=12-t,
∴ t=12-t.
解得t=6.
∴ 当四边形APQO是矩形时,t的值为6.