《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

1. 如图,我国某巨型摩天轮的最低点距离地面$AB = 10\mathrm{m}$,圆盘半径$OA = 50\mathrm{m}$.摩天轮的圆周上均匀地安装了若干座舱(本题中将座舱视为圆周上的点),游客在距离地面最近的位置进舱.小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光,当小明观光到点$P$时,小丽到达点$Q$,此时$\angle POQ = 90 ^ { \circ }$,且小丽距离地面$20\mathrm{m}$.

(1)过点$P作PC \perp OC于点C$,过点$Q作QD \perp OD于点D$,$\triangle OCP与\triangle QDO$全等吗?为什么?
$\triangle OCP\cong \triangle QDO$. 理由如下:
∵ $QD\perp BD$,$PC\perp BD$,
∴ $\angle QDO=\angle OCP=90^{\circ}$.
∵ $\angle POQ=90^{\circ}$,
∴ $\angle DOQ+\angle OQD=90^{\circ}=\angle DOQ+\angle POC$.
∴ $\angle OQD=\angle POC$.
又 $OQ=PO$,
∴ $\triangle OCP\cong \triangle QDO$.
(2)求此时两人所在座舱距离地面的高度差.
∵ $\triangle OCP\cong \triangle QDO$,
∴ $QD=OC$.
∵ 小丽到达点 $Q$ 时距离地面 $20m$,
∴ $BD=20m$.
又 $AB=10m$,$OA=50m$,
∴ $OD=40m$.
∴ $QD=\sqrt{OQ^{2}-OD^{2}}=30m$.
∴ $OC=QD=30m$.
∴ $CD=OD-OC=10m$.
∴ 此时两人所在座舱距离地面的高度差为 $10m$.

答案：
(1)$\triangle OCP\cong \triangle QDO$. 理由如下:
∵ $QD\perp BD$,$PC\perp BD$,
∴ $\angle QDO=\angle OCP=90^{\circ}$.
∵ $\angle POQ=90^{\circ}$,
∴ $\angle DOQ+\angle OQD=90^{\circ}=\angle DOQ+\angle POC$.
∴ $\angle OQD=\angle POC$.
又 $OQ=PO$,
∴ $\triangle OCP\cong \triangle QDO$.
(2)
∵ $\triangle OCP\cong \triangle QDO$,
∴ $QD=OC$.
∵ 小丽到达点 $Q$ 时距离地面 $20m$,
∴ $BD=20m$.
又 $AB=10m$,$OA=50m$,
∴ $OD=40m$.
∴ $QD=\sqrt{OQ^{2}-OD^{2}}=30m$.
∴ $OC=QD=30m$.
∴ $CD=OD-OC=10m$.
∴ 此时两人所在座舱距离地面的高度差为 $10m$.