《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

3.某品牌1L的牛奶包装盒的高为25cm,底面为长方形,将包装剪开铺平,得到如图所示的纸样.

(1)牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？
8cm和5cm
(2)若不改变牛奶包装盒的容积和高度,将牛奶包装盒的底面改为正方形,能否节约包装盒的纸张面积？若能,请计算每个牛奶包装盒可节约的纸张面积;若不能,请说明理由.
能节约包装盒的纸张面积，每个牛奶包装盒可节约的纸张面积为$(650-200\sqrt{10})\mathrm{cm}^{2}$

答案：
(1)设牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是$x\mathrm{cm}$和$y\mathrm{cm}$。
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}2(x+y)=26,\\ 25xy=1000\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x=8,\\ y=5\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=5,\\ y=8\end{array}\right.$
$\because x＞y$，
$\therefore x=8,y=5$。
$\therefore$ 牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是$8\mathrm{cm}$和$5\mathrm{cm}$。
(2)设牛奶盒底面正方形的边长为$a\mathrm{cm}$。
根据题意，得$25a^{2}=1000$。
解得$a_{1}=2\sqrt{10},a_{2}=-2\sqrt{10}$（舍去）。
$\therefore$ 每个牛奶包装盒的纸张面积为
$S=25× 2\sqrt{10}× 4+(2\sqrt{10})^{2}× 2$
$=(200\sqrt{10}+80)(\mathrm{cm}^{2})$。
$\because$ 原来牛奶包装盒的纸张面积为$S'=2× 8× 5+26× 25=730(\mathrm{cm}^{2})$，
$\therefore S'-S=730-(200\sqrt{10}+80)=(650-200\sqrt{10})(\mathrm{cm}^{2})$。
$\because 650-200\sqrt{10}＞0$，
$\therefore$ 能节约包装盒的纸张面积，每个牛奶包装盒可节约的纸张面积为$(650-200\sqrt{10})\mathrm{cm}^{2}$。