《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合B版》

亲爱的同学,我们经常见到像桌面、窗户、屏风、书本、镜框等四边形,四边形有许多性质,其中有一些可能尚未引起你的注意. 今天,我们一起来探究四边形的性质.
请你准备几张卡纸和一把剪刀,然后再阅读下文.
性质一 用任何一种四边形都可以既不重叠又无空隙地覆盖整个平面(如图1).
将四张卡纸叠在一起,用剪刀剪出四张完全一样的四边形,顶点标上字母A,B,C,D,然后按图1方式放置,由四边形四个内角之和等于360°就可以发现这个性质是成立的.
探究：用正五边形或正六边形能覆盖平面吗？用任意三角形呢？
正五边形不能覆盖平面；正六边形能覆盖平面；任意三角形能覆盖平面。

答案： 1. 首先分析正五边形：
正$n$边形内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，对于正五边形，$n = 5$，则内角和$(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，每个内角$\alpha=\frac{(5 - 2)×180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$。
因为$360÷108=\frac{10}{3}\notin Z$（$Z$表示整数集），所以正五边形不能覆盖平面。
2. 然后分析正六边形：
对于正六边形，$n = 6$，内角和$(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$，每个内角$\beta=\frac{(6 - 2)×180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$。
又因为$360÷120 = 3\in Z$，所以正六边形能覆盖平面。
3. 最后分析任意三角形：
三角形内角和为$180^{\circ}$，$360÷180 = 2\in Z$。
把$6$个完全一样的三角形的$6$个内角（$2$组三角形内角和）拼在一起可以组成$360^{\circ}$，所以任意三角形能覆盖平面。
综上，正五边形不能覆盖平面；正六边形能覆盖平面；任意三角形能覆盖平面。

性质二 四边形对角线的交点到四个顶点的距离之和小于其他任一点到四个顶点的距离之和.
如图2,O是四边形ABCD对角线的交点,它到四个顶点的距离之和正好等于两条对角线长之和,而其他任一点O'到A,C两点距离之和大于AC的长；到B,D两点距离之和大于BD的长. (如果点O'在某一条对角线上呢？)
探究：如图2,A,B,C,D是农村的四个居民点,商业点选在何处,可使它到四个居民点的距离之和最短？
商业点选在四边形ABCD对角线AC与BD的交点O处，可使它到四个居民点的距离之和最短。

答案： 【解析】：根据四边形对角线的交点到四个顶点的距离之和小于其他任一点到四个顶点的距离之和这一性质。对于四个居民点$A$、$B$、$C$、$D$，连接$AC$、$BD$，其交点$O$到$A$、$B$、$C$、$D$四个居民点的距离之和正好等于$AC + BD$。若选其他任一点$O'$，根据三角形三边关系，$O'A+O'C\gt AC$，$O'B + O'D\gt BD$，所以$O'A+O'B+O'C+O'D\gt AC + BD$。即使点$O'$在某一条对角线上，比如在$AC$上，此时$O'A+O'C = AC$，但$O'B+O'D\gt BD$，仍然有$O'A+O'B+O'C+O'D\gt AC + BD$。
【答案】：商业点选在四边形$ABCD$对角线$AC$与$BD$的交点$O$处，可使它到四个居民点的距离之和最短。