《2025年假期园地暑假作业八年级数学人教版》

1. 若$x - y = \sqrt{2} - 1$,$xy = \sqrt{2}$,则代数式$(x - 1)(y + 1)$的值等于(B)
A.$2\sqrt{2} + 2$
B.$2\sqrt{2} - 2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2$

答案： B

2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 3$,$BC = 4$,点$D在BC$上,以$AC为对角线的所有□ ADCE$中,$DE$最小的值是(B)

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： B

3. 如图,边长为$6$的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为$S_{1}$,$S_{2}$,则$S_{1} + S_{2}$的值为(B)

A.$16$
B.$17$
C.$18$
D.$19$

答案： B

4. 若$y = x^{a + 2}$是正比例函数,则$a$的值是______-1。

答案： $-1$

5. 已知一次函数$y = 2x - 6与y = -x + 3的图象交于点P$,则点$P$的坐标为$(3,0)$。

答案： $(3,0)$

6. 汽车开始行驶时油箱内有油$40$升,如果每小时耗油$5$升,则油箱内余油量$Q$升与行驶时间$t$小时的关系是$Q = 40 - 5t$。

答案： $Q = 40 - 5t$

7. 解不等式：$\sqrt{2}(x - \sqrt{3}) \geq \sqrt{6}(x + 1)$。

答案： 【解析】：
本题可先去括号，再移项、合并同类项，最后将系数化为$1$来求解不等式。
- **步骤一：去括号**
根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，将不等式$\sqrt{2}(x - \sqrt{3}) \geq \sqrt{6}(x + 1)$两边的括号去掉，可得：
$\sqrt{2}x - \sqrt{6} \geq \sqrt{6}x + \sqrt{6}$
- **步骤二：移项**
把含有$x$的项移到不等式左边，常数项移到不等式右边，移项时要注意变号，得到：
$\sqrt{2}x - \sqrt{6}x \geq \sqrt{6} + \sqrt{6}$
- **步骤三：合并同类项**
对不等式左边的$\sqrt{2}x - \sqrt{6}x$提取公因式$x$可得$(\sqrt{2} - \sqrt{6})x$，对不等式右边的$\sqrt{6} + \sqrt{6}$合并同类项可得$2\sqrt{6}$，此时不等式变为：
$(\sqrt{2} - \sqrt{6})x \geq 2\sqrt{6}$
- **步骤四：系数化为$1$**
因为$\sqrt{2}-\sqrt{6}\lt0$，根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变，所以在不等式$(\sqrt{2} - \sqrt{6})x \geq 2\sqrt{6}$两边同时除以$\sqrt{2} - \sqrt{6}$，不等号方向改变，得到：
$x\leq\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$
为了将分母有理化，给$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$的分子分母同时乘以$\sqrt{2} + \sqrt{6}$，可得：
$\begin{aligned}x&\leq\frac{2\sqrt{6}(\sqrt{2} + \sqrt{6})}{(\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{2} + \sqrt{6})}\\&=\frac{2\sqrt{12}+2×6}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2}\\&=\frac{4\sqrt{3}+12}{2 - 6}\\&=\frac{4\sqrt{3}+12}{-4}\\&=-\sqrt{3}-3\end{aligned}$
【答案】：$x\leq - 3 - \sqrt{3}$