《2025年假期园地暑假作业八年级数学人教版》

7. 已知$y与x - 3$成正比例,当$x = 4$,$y = 3$.
(1)写出$y与x$之间的函数关系式；$y = 3x - 9$
(2)求当$x = 2.5$时,$y$的值.$-1.5$

答案： 【解析】：
(1)因为$y$与$x - 3$成正比例，所以设$y=k(x - 3)$（$k\neq0$）。
把$x = 4$，$y = 3$代入$y=k(x - 3)$中，可得$3=k×(4 - 3)$，即$3 = k×1$，解得$k = 3$。
把$k = 3$代入$y=k(x - 3)$，得到$y = 3(x - 3)=3x-9$，所以$y$与$x$之间的函数关系式是$y = 3x - 9$。
(2)当$x = 2.5$时，把$x = 2.5$代入$y = 3x - 9$中，$y=3×2.5-9=7.5 - 9=-1.5$。
【答案】：
(1)$y = 3x - 9$；
(2)$-1.5$

8. 如图,四边形$ABCD$中,$\angle A = \angle BCD = 90^{\circ}$,$BC = CD$,$CE \perp AD$,垂足为$E$.
求证：$AE = CE$.

过点$B$作$BF\perp CE$于$F$。
$\because\angle BCD = 90^{\circ}$，$\therefore\angle BCF+\angle DCE = 90^{\circ}$。
$\because CE\perp AD$，$\therefore\angle D+\angle DCE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle BCF=\angle D$。
$\because BF\perp CE$，$CE\perp AD$，$\angle A = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$AEFB$是矩形，$\angle BFC=\angle CED = 90^{\circ}$，$AE = BF$。
在$\triangle BCF$和$\triangle CDE$中，$\begin{cases}\angle BFC=\angle CED\\\angle BCF=\angle D\\BC = CD\end{cases}$，$\therefore\triangle BCF\cong\triangle CDE(AAS)$，$\therefore BF = CE$。
$\because AE = BF$，$\therefore AE = CE$。

答案： 【解析】：
过点$B$作$BF\perp CE$于$F$。
因为$\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$\angle BCF+\angle DCE = 90^{\circ}$。
又因为$CE\perp AD$，所以$\angle D+\angle DCE = 90^{\circ}$，则$\angle BCF=\angle D$。
因为$BF\perp CE$，$CE\perp AD$，$\angle A = 90^{\circ}$，所以四边形$AEFB$是矩形，$\angle BFC=\angle CED = 90^{\circ}$，$AE = BF$。
在$\triangle BCF$和$\triangle CDE$中，$\begin{cases}\angle BFC=\angle CED\\\angle BCF=\angle D\\BC = CD\end{cases}$，所以$\triangle BCF\cong\triangle CDE(AAS)$，则$BF = CE$。
因为$AE = BF$，所以$AE = CE$。
【答案】：
过点$B$作$BF\perp CE$于$F$。
$\because\angle BCD = 90^{\circ}$，$\therefore\angle BCF+\angle DCE = 90^{\circ}$。
$\because CE\perp AD$，$\therefore\angle D+\angle DCE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle BCF=\angle D$。
$\because BF\perp CE$，$CE\perp AD$，$\angle A = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$AEFB$是矩形，$\angle BFC=\angle CED = 90^{\circ}$，$AE = BF$。
在$\triangle BCF$和$\triangle CDE$中，$\begin{cases}\angle BFC=\angle CED\\\angle BCF=\angle D\\BC = CD\end{cases}$，$\therefore\triangle BCF\cong\triangle CDE(AAS)$，$\therefore BF = CE$。
$\because AE = BF$，$\therefore AE = CE$。

9. 某公司员工的月工资情况统计如下表：
|员工人数/人|2|4|8|20|8|4|
|月工资/元|5000|4000|2000|1500|1000|700|
(1)分别计算该公司月工资的平均数、中位数和众数.
(2)你认为用(1)中算出的哪个数据来表示该公司员工的月工资水平更为合适？
(3)请画出一种你认为合适的统计图来表示上面表格中的数据.

答案： 【解析】：
1. 首先计算平均数：
平均数的计算公式为$\bar{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}f_{i}}{\sum_{i = 1}^{n}f_{i}}$，其中$x_{i}$是数据，$f_{i}$是对应数据的频数。
这里$\sum_{i = 1}^{n}f_{i}=2 + 4+8 + 20+8 + 4=46$（人）。
$\sum_{i = 1}^{n}x_{i}f_{i}=5000×2 + 4000×4+2000×8 + 1500×20+1000×8 + 700×4$
$=10000 + 16000+16000 + 30000+8000 + 2800$
$=82800$（元）。
则平均数$\bar{x}=\frac{82800}{46}=1800$（元）。
2. 然后求中位数：
一共有$46$个数据，将所有数据从小到大排列，中位数是第$23$个和第$24$个数据的平均数。
前$2 + 4+8 = 14$个数据是$5000$，$4000$，$2000$；从第$15$个到第$15 + 20=34$个数据是$1500$。
所以第$23$个和第$24$个数据都是$1500$，中位数为$\frac{1500 + 1500}{2}=1500$（元）。
3. 接着求众数：
众数是一组数据中出现次数最多的数据。
由表格可知$1500$元出现的次数最多，为$20$次，所以众数是$1500$元。
4. 对于用哪个数据表示该公司员工的月工资水平更为合适的问题：
平均数受极端值（如本题中的$5000$和$4000$）影响较大，该公司中大部分员工的工资都低于平均数，所以平均数不能很好地反映该公司员工的月工资水平。
中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，如果数据有奇数个，则正中间的数字为中位数；如果数据有偶数个，则中间两位数的平均数为中位数，它不受极端值的影响，能较好地反映中等水平。
众数是出现次数最多的数据，代表了数据的一般水平。在本题中，众数$1500$元是大多数员工的工资水平，所以用众数或中位数来表示该公司员工的月工资水平更为合适。
5. 关于统计图：
条形统计图的特点是能够清楚地表明各种数量的多少，所以用条形统计图来表示该公司员工的月工资情况比较合适。
【答案】：
(1)平均数是$1800$元，中位数是$1500$元，众数是$1500$元。
(2)用中位数或众数来表示该公司员工的月工资水平更为合适。
(3)用条形统计图来表示，横坐标表示月工资，纵坐标表示员工人数，根据表格数据画出对应的条形。