《2025年假期园地暑假作业八年级数学人教版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D为边BC$上一点,以$AB$,$BD为邻边作平行四边形ABDE$,连接$AD$,$EC$。
(1)求证：$\triangle ADC\cong\triangle ECD$；因为$AB = AC$，根据等腰三角形性质可得$\angle B=\angle ACB$。又因为四边形$ABDE$是平行四边形，所以$AB = DE$，$AB// DE$，进而$\angle B=\angle EDC=\angle ACB$，$AC = DE$。在$\triangle ADC$和$\triangle ECD$中，$\left\{\begin{array}{l}AC = ED\\\angle ACB=\angle EDC\\DC = CD\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADC\cong\triangle ECD$。
(2)若$BD = CD$,求证四边形$ADCE$是矩形。因为四边形$ABDE$是平行四边形，所以$AE// BD$，$AE = BD$。已知$BD = CD$，所以$AE// CD$，$AE = CD$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形$ADCE$是平行四边形。又因为$AB = AC$，$BD = CD$，根据等腰三角形三线合一性质，可得$AD\perp BC$，即$\angle ADC = 90^{\circ}$。根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$ADCE$是矩形。

答案： 【解析】：
(1)
- 因为$AB = AC$，根据等腰三角形性质可得$\angle B=\angle ACB$。
- 又因为四边形$ABDE$是平行四边形，所以$AB = DE$，$AB// DE$，进而$\angle B=\angle EDC=\angle ACB$，$AC = DE$。
- 在$\triangle ADC$和$\triangle ECD$中，$\left\{\begin{array}{l}AC = ED\\\angle ACB=\angle EDC\\DC = CD\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADC\cong\triangle ECD$。
(2)
- 因为四边形$ABDE$是平行四边形，所以$AE// BD$，$AE = BD$。
- 已知$BD = CD$，所以$AE// CD$，$AE = CD$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形$ADCE$是平行四边形。
- 又因为$AB = AC$，$BD = CD$，根据等腰三角形三线合一性质，可得$AD\perp BC$，即$\angle ADC = 90^{\circ}$。
- 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$ADCE$是矩形。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。

9. 某单位准备印刷一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,乙厂直接按印刷数量收取印刷费。甲、乙两厂的印刷费用$y$(千元)与证书数量$x$(千个)的函数关系的图象分别如图中甲、乙所示。
(1)请你直接写出甲厂的制版费及$y_{甲}$与$x$的函数关系式,并求出其证书印刷单价。
甲厂制版费1000元，$y_{甲}=$$\frac{1}{2}x + 1(x\geqslant0)$，证书印刷单价0.5元/个；
(2)当印刷证书$8000$个时,选择哪个印刷厂节省费用？节省多少元费用？
选择乙厂节省费用，节省500元；
(3)如果甲厂想把$8000$个证书的印刷工作承揽下来,在不降低制版费的前提下,每个证书的印刷费用最少降低多少元？
每个证书的印刷费用最少降低0.0625元。

答案： 【解析】：
### $(1)$求甲厂的制版费、$y_{甲}$与$x$的函数关系式及证书印刷单价
**求制版费：**
由图象可知，当$x = 0$时，$y_{甲}=1$，所以甲厂的制版费为$1000$元。
**求$y_{甲}$与$x$的函数关系式：**
设$y_{甲}=kx + b$（$k\neq0$），把$(0,1)$和$(6,4)$代入可得：
$\begin{cases}b = 1\\6k + b = 4\end{cases}$
将$b = 1$代入$6k + b = 4$，得$6k+1 = 4$，解得$k=\frac{1}{2}$。
所以$y_{甲}=\frac{1}{2}x + 1$（$x\geqslant0$）。
**求证书印刷单价：**
当$x = 6$（千个）时，$y_{甲}=4$（千元），印刷费为$4 - 1=3$（千元），
则证书印刷单价为$\frac{3}{6}=0.5$（元/个）。
### $(2)$比较印刷$8000$个证书时两厂费用
**求$y_{乙}$与$x$的函数关系式：**
设$y_{乙}=mx + n$（$m\neq0$），把$(2,3)$和$(6,4)$代入可得：
$\begin{cases}2m + n = 3\\6m + n = 4\end{cases}$
用$6m + n = 4$减去$2m + n = 3$，得$(6m + n)-(2m + n)=4 - 3$，
即$4m = 1$，解得$m=\frac{1}{4}$，
把$m=\frac{1}{4}$代入$2m + n = 3$，得$2×\frac{1}{4}+n = 3$，解得$n=\frac{5}{2}$。
所以$y_{乙}=\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}$（$x\geqslant0$）。
**计算两厂费用：**
当$x = 8$（千个）时，
$y_{甲}=\frac{1}{2}×8 + 1=4 + 1 = 5$（千元），
$y_{乙}=\frac{1}{4}×8+\frac{5}{2}=2+\frac{5}{2}=4.5$（千元）。
$5 - 4.5 = 0.5$（千元）$ = 500$元。
所以选择乙厂节省费用，节省$500$元。
### $(3)$计算甲厂每个证书印刷费用最少降低多少元
当$x = 8$（千个）时，若甲厂费用为$4.5$千元，
此时印刷费为$4.5 - 1 = 3.5$（千元），
原来印刷$8$千个证书印刷费为$0.5×8 = 4$（千元），
印刷费降低了$4 - 3.5 = 0.5$（千元）$ = 500$元，
则每个证书印刷费用最少降低$\frac{500}{8000}=0.0625$元。
【答案】：
$(1)$甲厂制版费$\boldsymbol{1000}$元，$y_{甲}=\boldsymbol{\frac{1}{2}x + 1(x\geqslant0)}$，证书印刷单价$\boldsymbol{0.5}$元/个；
$(2)$选择**乙厂**节省费用，节省$\boldsymbol{500}$元；
$(3)$每个证书的印刷费用最少降低$\boldsymbol{0.0625}$元。