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2025年假期园地暑假作业八年级数学人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年假期园地暑假作业八年级数学人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
8. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AD$,$AE分别是∠BAC和∠BAC$外角的平分线,且$BE⊥AE$.
(1)求证：$DA⊥AE$；
(2)试判断$AB与DE$是否相等,并证明你的结论.
(1)求证：$DA⊥AE$；
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。又因为$AE$平分$\angle BAF$，所以$\angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAF$。由于$\angle BAC+\angle BAF = 180^{\circ}$，那么$\angle BAD+\angle BAE=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BAF)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$，即$\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$DA\perp AE$。
(2)试判断$AB与DE$是否相等,并证明你的结论.
$AB = DE$，证明：因为$AB = AC$，$AD$平分$\angle BAC$，根据等腰三角形三线合一，可得$AD\perp BC$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。又因为$BE\perp AE$，$\angle DAE = 90^{\circ}$，所以四边形$ADBE$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。根据矩形的性质，矩形的对边相等，所以$AB = DE$。
答案：
【解析】：
(1) 因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。
又因为$AE$平分$\angle BAF$，所以$\angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAF$。
由于$\angle BAC+\angle BAF = 180^{\circ}$，那么$\angle BAD+\angle BAE=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BAF)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$，即$\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$DA\perp AE$。
(2) 因为$AB = AC$，$AD$平分$\angle BAC$，根据等腰三角形三线合一，可得$AD\perp BC$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
又因为$BE\perp AE$，$\angle DAE = 90^{\circ}$，所以四边形$ADBE$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。
根据矩形的性质，矩形的对边相等，所以$AB = DE$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析；
(2) $AB = DE$，证明见上述解析。
(1) 因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。
又因为$AE$平分$\angle BAF$，所以$\angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAF$。
由于$\angle BAC+\angle BAF = 180^{\circ}$，那么$\angle BAD+\angle BAE=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BAF)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$，即$\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$DA\perp AE$。
(2) 因为$AB = AC$，$AD$平分$\angle BAC$，根据等腰三角形三线合一，可得$AD\perp BC$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
又因为$BE\perp AE$，$\angle DAE = 90^{\circ}$，所以四边形$ADBE$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。
根据矩形的性质，矩形的对边相等，所以$AB = DE$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析；
(2) $AB = DE$，证明见上述解析。
9. 小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛,两人各投了$10$次,如图是他们投标成绩的统计图.
(1)根据图中信息填写下表：
| | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| 小亮 |
| 小莹 | $7$ |
(2)分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好.
平均数：两人平均数相同，说明两人平均成绩一样；中位数：小莹中位数大于小亮中位数，说明小莹成绩较好。
(1)根据图中信息填写下表：
| | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| 小亮 |
7
| $7$ | 7
|| 小莹 | $7$ |
7.5
| $9$ |(2)分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好.
平均数：两人平均数相同，说明两人平均成绩一样；中位数：小莹中位数大于小亮中位数，说明小莹成绩较好。
答案：
【解析】：
### （1）计算小亮的平均数、众数和小莹的中位数
**计算小亮的平均数**：
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}$（其中$n = 10$），小亮的成绩分别为$9$、$5$、$7$、$8$、$7$、$6$、$8$、$6$、$7$、$7$。
$\bar{x}_{小亮}=\frac{9 + 5+7+8+7+6+8+6+7+7}{10}=\frac{70}{10}=7$。
**计算小亮的众数**：
众数是一组数据中出现次数最多的数据。在小亮的成绩$9$、$5$、$7$、$8$、$7$、$6$、$8$、$6$、$7$、$7$中，$7$出现了$4$次，出现的次数最多，所以小亮成绩的众数是$7$。
**计算小莹的中位数**：
将小莹的成绩从小到大排列：$3$、$4$、$6$、$8$、$7$、$7$、$8$、$9$、$9$、$10$。
因为$n = 10$是偶数，根据中位数公式$M=\frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$（$x_{\frac{n}{2}}$，$x_{\frac{n}{2}+1}$是按顺序排列后中间两个数），这里$x_{5}=7$，$x_{6}=8$，则中位数$M=\frac{7 + 8}{2}=7.5$。
### （2）用平均数和中位数解释成绩
**用平均数解释**：
小亮和小莹的平均数都是$7$，说明从平均水平看，两人成绩一样好。
**用中位数解释**：
小亮成绩的中位数是$7$，小莹成绩的中位数是$7.5$。中位数是将数据排序后位于中间位置的数，小莹成绩的中位数大于小亮成绩的中位数，说明小莹成绩中比中位数大的数更多，所以从中位数角度看，小莹的成绩比较好。
【答案】：
| | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| 小亮 | $7$ | $7$ | $7$ |
| 小莹 | $7$ | $7.5$ | $9$ |
（2）平均数：两人平均数相同，说明两人平均成绩一样；中位数：小莹中位数大于小亮中位数，说明小莹成绩较好。
### （1）计算小亮的平均数、众数和小莹的中位数
**计算小亮的平均数**：
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}$（其中$n = 10$），小亮的成绩分别为$9$、$5$、$7$、$8$、$7$、$6$、$8$、$6$、$7$、$7$。
$\bar{x}_{小亮}=\frac{9 + 5+7+8+7+6+8+6+7+7}{10}=\frac{70}{10}=7$。
**计算小亮的众数**：
众数是一组数据中出现次数最多的数据。在小亮的成绩$9$、$5$、$7$、$8$、$7$、$6$、$8$、$6$、$7$、$7$中，$7$出现了$4$次，出现的次数最多，所以小亮成绩的众数是$7$。
**计算小莹的中位数**：
将小莹的成绩从小到大排列：$3$、$4$、$6$、$8$、$7$、$7$、$8$、$9$、$9$、$10$。
因为$n = 10$是偶数，根据中位数公式$M=\frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$（$x_{\frac{n}{2}}$，$x_{\frac{n}{2}+1}$是按顺序排列后中间两个数），这里$x_{5}=7$，$x_{6}=8$，则中位数$M=\frac{7 + 8}{2}=7.5$。
### （2）用平均数和中位数解释成绩
**用平均数解释**：
小亮和小莹的平均数都是$7$，说明从平均水平看，两人成绩一样好。
**用中位数解释**：
小亮成绩的中位数是$7$，小莹成绩的中位数是$7.5$。中位数是将数据排序后位于中间位置的数，小莹成绩的中位数大于小亮成绩的中位数，说明小莹成绩中比中位数大的数更多，所以从中位数角度看，小莹的成绩比较好。
【答案】：
| | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| 小亮 | $7$ | $7$ | $7$ |
| 小莹 | $7$ | $7.5$ | $9$ |
（2）平均数：两人平均数相同，说明两人平均成绩一样；中位数：小莹中位数大于小亮中位数，说明小莹成绩较好。
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