《2025年假期园地暑假作业八年级数学人教版》

7. 如图,$\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$。若 $c = 10$,$a:b = 3:4$,求 $a$ 和 $b$ 的值。

$a=$6，$b=$8

答案： 【解析】：
设$a = 3x$，因为$a:b = 3:4$，所以$b = 4x$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
已知$c = 10$，则$(3x)^{2}+(4x)^{2}=10^{2}$，即$9x^{2}+16x^{2}=100$，$25x^{2}=100$，$x^{2}=4$，解得$x = 2$或$x=-2$（边长不能为负舍去）。
所以$a = 3x = 3×2 = 6$，$b = 4x = 4×2 = 8$。
【答案】：$a = 6$，$b = 8$

8. 周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游,从家出发 $0.5h$ 后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地。小明离家 $1h20min$ 后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程 $y(km)$ 与小明离家时间 $x(h)$ 的函数图象。已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的 $3$ 倍。
(1) 求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间。小明骑车速度为20km/h，在甲地游玩时间为0.5h；
(2) 小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？小明从家出发1.75小时后被妈妈追上，此时离家25km；
(3) 若妈妈比小明早 $10min$ 到达乙地,求从家到乙地的路程。从家到乙地的路程为30km。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 计算小明骑车的速度和在甲地游玩的时间
小明骑车速度：根据公式$速度 = 路程÷时间$，已知小明$0.5h$骑行$10km$，所以小明骑车速度$v=\frac{10}{0.5}=20(km/h)$。
甲地游玩时间：小明$0.5h$到达甲地，$1h$后离开甲地，所以在甲地游玩的时间是$1 - 0.5 = 0.5(h)$。
### $(2)$ 计算小明从家出发被妈妈追上的时间以及此时离家的距离
妈妈驾车速度：因为妈妈驾车的速度是小明骑车速度的$3$倍，所以妈妈驾车速度为$20×3 = 60(km/h)$。
设小明从家出发$x h$后被妈妈追上。
小明$0.5h$到甲地，$1h$后按原速前往乙地，那么小明走的路程$y_{小明}=20(x - 1)+10$（$x\geq1$）；妈妈$1h20min=\frac{4}{3}h$后出发，妈妈走的路程$y_{妈妈}=60(x - \frac{4}{3})$。
当$y_{小明}=y_{妈妈}$时，$20(x - 1)+10 = 60(x - \frac{4}{3})$，
展开式子得$20x - 20 + 10 = 60x - 80$，
移项得$60x - 20x = 80 - 20 + 10$，
合并同类项得$40x = 70$，
解得$x = 1.75$。
此时离家的距离$y = 60×(1.75 - \frac{4}{3}) = 60×(\frac{7}{4}-\frac{4}{3})=60×\frac{21 - 16}{12}=25(km)$。
### $(3)$ 计算从家到乙地的路程
设从家到乙地的路程为$s km$。
小明到达乙地的时间$t_{小明}=\frac{s - 10}{20}+1$；妈妈到达乙地的时间$t_{妈妈}=\frac{s}{60}$。
已知妈妈比小明早$10min=\frac{1}{6}h$到达乙地，可列方程$\frac{s - 10}{20}+1-\frac{s}{60}=\frac{1}{6}$，
方程两边同时乘以$60$得$3(s - 10)+60 - s = 10$，
展开式子得$3s - 30 + 60 - s = 10$，
移项得$3s - s = 10 + 30 - 60$，
合并同类项得$2s=-20$，
解得$s = 30$。
【答案】：
$(1)$ 小明骑车速度为$\boldsymbol{20km/h}$，在甲地游玩时间为$\boldsymbol{0.5h}$；
$(2)$ 小明从家出发$\boldsymbol{1.75}$小时后被妈妈追上，此时离家$\boldsymbol{25km}$；
$(3)$ 从家到乙地的路程为$\boldsymbol{30km}$。