《2025年假期园地暑假作业八年级数学人教版》

1. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$,$E$ 分别是 $AB$,$AC$ 的中点,$\angle A = 50^{\circ}$,$\angle ADE = 60^{\circ}$,则 $\angle C$ 的度数为(C)

A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： C

2. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是(C)
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形

答案： C

3. 菱形的周长为 $8cm$,高为 $1cm$,则该菱形两邻角度数比为(C)
A.$3:1$
B.$4:1$
C.$5:1$
D.$6:1$

答案： C

4. 已知 $\sqrt{6} + 1$ 的整数部分为 $m$,小数部分为 $n$,则 $2m - 3n$ 的值为$12 - 3\sqrt{6}$。

答案： $12 - 3\sqrt{6}$

5. 已知正数 $a$ 和 $b$,有下列结论：①若 $a + b = 2$,则 $ab\leqslant 1$；②若 $a + b = 3$,则 $\sqrt{ab}\leqslant\frac{3}{2}$；③若 $a + b = 6$,则 $\sqrt{ab}\leqslant 3$。根据以上三个结论所提供的规律猜想,若 $a + b = 9$,则$\sqrt{ab}\leqslant\frac{9}{2}$。

答案： $\sqrt{ab}\leqslant\frac{9}{2}$

6. 先化简,再求值：$\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} + \frac{2xy}{y - x}$,其中 $x = 3 + \sqrt{2}$,$y = 3 - \sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$

答案： 【解析】：
本题可先对原式进行化简，再将$x$、$y$的值代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简原式**
观察原式$\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} + \frac{2xy}{y - x}$，发现两个分式的分母$x - y$与$y - x$互为相反数，可将$\frac{2xy}{y - x}$变形为$-\frac{2xy}{x - y}$，则原式可化为：
$\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} - \frac{2xy}{x - y}$
此时两个分式分母相同，根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\frac{x^{2} + y^{2}-2xy}{x - y}$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对分子$x^{2} + y^{2}-2xy$进行变形可得$(x - y)^2$，则原式进一步化为：
$\frac{(x - y)^2}{x - y}$
约分可得$x - y$。
- **步骤二：代入求值**
将$x = 3 + \sqrt{2}$，$y = 3 - \sqrt{2}$代入化简后的式子$x - y$，可得：
$(3 + \sqrt{2}) - (3 - \sqrt{2})$
去括号：$3 + \sqrt{2} - 3 + \sqrt{2}$
合并同类项：$(3 - 3)+(\sqrt{2} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$
【答案】：$2\sqrt{2}$