《2025年假期园地暑假作业八年级数学人教版》

7. 已知一次函数$y= (2m + 2)x+(3 - n)$,根据下列条件,请你求出$m$,$n$的取值范围.
(1)$y随x$的增大而增大；
(2)直线与$y轴交点在x$轴下方；
(3)图象经过第二、三、四象限.

答案： 【解析】：
(1)对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$），当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大。
在一次函数$y=(2m + 2)x+(3 - n)$中，$k = 2m + 2$，由$y$随$x$的增大而增大，可得$2m + 2\gt0$，
解不等式$2m+2\gt0$，移项得$2m\gt - 2$，两边同时除以$2$，解得$m\gt - 1$，$n$的取值范围为全体实数。
(2)求直线与$y$轴的交点时，令$x = 0$，则$y=3 - n$，所以直线与$y$轴交点坐标为$(0,3 - n)$。
因为直线与$y$轴交点在$x$轴下方，所以$3 - n\lt0$，且一次函数中$x$的系数$2m + 2\neq0$。
解不等式$3 - n\lt0$，移项得$-n\lt - 3$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，解得$n\gt3$；
解不等式$2m + 2\neq0$，移项得$2m\neq - 2$，两边同时除以$2$，解得$m\neq - 1$。
(3)一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）的图象经过第二、三、四象限，则$k\lt0$且$b\lt0$。
在一次函数$y=(2m + 2)x+(3 - n)$中，$k = 2m + 2$，$b = 3 - n$，所以可得$\begin{cases}2m + 2\lt0\\3 - n\lt0\end{cases}$。
解不等式$2m + 2\lt0$，移项得$2m\lt - 2$，两边同时除以$2$，解得$m\lt - 1$；
解不等式$3 - n\lt0$，移项得$-n\lt - 3$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，解得$n\gt3$。
【答案】：
(1)$m\gt - 1$，$n$为全体实数；
(2)$m\neq - 1$，$n\gt3$；
(3)$m\lt - 1$，$n\gt3$。

8. 如图所示,已知在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,若将$\triangle ABC绕点C按顺时针方向旋转180^{\circ}$,得到$\triangle FEC$.
(1)试猜想$AE与BF$有何关系？并说明理由.
答：$AE$与$BF$的关系是$AE// BF$且$AE = BF$；理由：由旋转得$\triangle ABC\cong\triangle FEC$，证$\triangle ACE\cong\triangle FCB(SAS)$得$AE = BF$，$\angle CAE=\angle CFB$，从而$AE// BF$。
(2)若$\triangle ABC的面积为3cm^{2}$,求四边形$ABFE$的面积.
答：四边形$ABFE$的面积为$12cm^{2}$。
(3)当$\angle ACB$为多少度时,四边形$ABFE$为矩形？并说明理由.
答：当$\angle ACB$为$60^{\circ}$时，四边形$ABFE$为矩形；理由：当$\angle ACB = 60^{\circ}$，$\triangle ABC$是等边三角形，得$AC = BC$，结合旋转性质，证四边形$ABFE$是平行四边形且$AF = BE$，所以是矩形。

答案： 【解析】：
(1)
由旋转可知，$\triangle ABC\cong\triangle FEC$，所以$AC = FC$，$BC = EC$，$\angle ACE=\angle FCB$。
在$\triangle ACE$和$\triangle FCB$中，$\left\{\begin{array}{l}AC = FC\\\angle ACE=\angle FCB\\BC = EC\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ACE\cong\triangle FCB$，所以$AE = BF$，$\angle CAE=\angle CFB$，则$AE// BF$。
(2)
因为$AC = FC$，$\triangle ABC$与$\triangle FBC$等底同高，所以$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle FBC}=3cm^{2}$。
同理$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle FBC}=S_{\triangle ACE}=S_{\triangle FCE}=3cm^{2}$。
四边形$ABFE$的面积$S = S_{\triangle ABC}+S_{\triangle FBC}+S_{\triangle ACE}+S_{\triangle FCE}=3×4 = 12cm^{2}$。
(3)
当$\angle ACB = 60^{\circ}$时，
因为$AB = AC$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AC = BC$。
又因为$AC = FC$，$BC = EC$，所以$AF = BE$。
由
(1)知$AE// BF$，$AE = BF$，所以四边形$ABFE$是平行四边形，又$AF = BE$，所以四边形$ABFE$为矩形。
【答案】：
(1) $AE// BF$且$AE = BF$；理由：由旋转得$\triangle ABC\cong\triangle FEC$，证$\triangle ACE\cong\triangle FCB(SAS)$得$AE = BF$，$\angle CAE=\angle CFB$，从而$AE// BF$。
(2) $12cm^{2}$。
(3) $60^{\circ}$；理由：当$\angle ACB = 60^{\circ}$，$\triangle ABC$是等边三角形，得$AC = BC$，结合旋转性质，证四边形$ABFE$是平行四边形且$AF = BE$，所以是矩形。