《2025年Happy暑假作业快乐暑假武汉大学出版社八年级数学通用版》

在《聊斋志异》中,我们读到过“穿墙术”,这只是离奇故事. 但在数学王国里,就真的有“穿墙术”呢.
请看这几个例子：$\sqrt { 2 \frac { 2 } { 3 } } = 2 \sqrt { \frac { 2 } { 3 } }$,$\sqrt { 3 \frac { 3 } { 8 } } = 3 \sqrt { \frac { 3 } { 8 } }$,$\sqrt { 5 \frac { 5 } { 24 } } = 5 \sqrt { \frac { 5 } { 24 } }$.
不难发现,根号内带分数的整数部分“钻”到了根号外,这就是二次根式的“穿墙术”. 是不是所有的二次根式都有“穿墙术”呢？其实不然,例如：$\sqrt { 3 \frac { 2 } { 3 } } = \sqrt { \frac { 11 } { 3 } } \neq 3 \sqrt { \frac { 2 } { 3 } }$. 那么,什么样的二次根式,具备“穿墙术”的条件呢？
以$\sqrt { a \frac { c } { b } } = \sqrt { \frac { a b + c } { b } }$为例：当$a$,$b$,$c$都是正整数,且$a b + c = a ^ { 2 } c ( * )$时,$\sqrt { a \frac { c } { b } } = \sqrt { \frac { a b + c } { b } } = \sqrt { \frac { a ^ { 2 } c } { b } } = a \sqrt { \frac { c } { b } }$. 根据式$( * )可得a b = c ( a ^ { 2 } - 1 )$,当$b$,$c$互质时,$a = c$,$b = a ^ { 2 } - 1$. 于是,$\sqrt { a \frac { c } { b } } = \sqrt { a + \frac { a } { a ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { \frac { a ^ { 3 } } { a ^ { 2 } - 1 } } = a \sqrt { \frac { a } { a ^ { 2 } - 1 } }$,且$a \geq 2$. 综上可知,二次根式$\sqrt { a \frac { c } { b } }$具备“穿墙术”的条件为：$a = c$,$b = a ^ { 2 } - 1$. 你还能找到一些能“穿墙”的二次根式吗？

答案： $\sqrt{4\frac{4}{15}}$，$\sqrt{6\frac{6}{35}}$（答案不唯一）