《2025年Happy暑假作业快乐暑假武汉大学出版社八年级数学通用版》

17. (★★★★)有一道练习题是:将式子$2a-\sqrt {a^{2}-4a+4}$先化简,后求值,其中$a= \sqrt {2}$.小明的解法如下:
$2a-\sqrt {a^{2}-4a+4}= 2a-\sqrt {(a-2)^{2}}= 2a-(a-2)= a+2= \sqrt {2}+2$.
小明的解法对吗? 如果不对,请改正.

答案： 小明的解法不对。正确的化简结果为$3a - 2$，值为$3\sqrt{2} - 2$。

18. (★★★★★)同学们,我们以前学过完全平方公式$a^{2}\pm 2ab+b^{2}= (a\pm b)^{2}$,你一定熟练掌握了吧! 现在,我们又学习了二次根式,那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方,如$3= (\sqrt {3})^{2},5= (\sqrt {5})^{2}$,你知道$(\sqrt {2}-1)$是谁的二次根式吗?下面我们来观察一下:
$(\sqrt {2}-1)^{2}= (\sqrt {2})^{2}-2\sqrt {2}+1^{2}= 2-2\sqrt {2}+1= 3-2\sqrt {2}$.
反之,$3-2\sqrt {2}= 2-2\sqrt {2}+1= (\sqrt {2}-1)^{2}$,
$\therefore 3-2\sqrt {2}= (\sqrt {2}-1)^{2},\therefore \sqrt {3-2\sqrt {2}}= \sqrt {2}-1$.
求:(1)$\sqrt {3+2\sqrt {2}}$;(2)$\sqrt {4+2\sqrt {3}}$;(3)$\sqrt {4-\sqrt {12}}$;
(4)若$\sqrt {a\pm 2\sqrt {b}}= \sqrt {m}\pm \sqrt {n}$,则$m,n与a,b$的关系是什么? 并说明理由.

答案： 1.$\sqrt{2}+1$ 2.$\sqrt{3}+1$ 3.$\sqrt{3}-1$ 4.$a=m + n$，$b = mn$，理由：因为$(\sqrt{m}\pm\sqrt{n})^{2}=m + n\pm2\sqrt{mn}$，又$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}=\sqrt{m}\pm\sqrt{n}$，两边平方后可得$a\pm2\sqrt{b}=m + n\pm2\sqrt{mn}$，所以$a=m + n$，$b = mn$。