《2025年一本预备新高一数学》

1.若$P = \{ ( 1,2 ), ( 1,3 ) \}$,则集合P中元素的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B 集合$P$中的元素为有序数对，即元素$(1,2)$和$(1,3)$，共2个。

2.(教材改编题)将集合$A = \{ x | x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0 \}$用另一种方法表示为()
A.1,2
B.$( 1,2 )$
C.$\{ 1,2 \}$
D.$\{ ( 1,2 ) \}$

答案： C 解方程$x^{2}-3x+2=0$，得$x=1$或$x=2$，所以$A=\{ 1,2\} $。

3.(新课标Ⅱ卷)已知集合$A = \{ ( x, y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 3, x \in \mathbf { Z }, y \in \mathbf { Z } \}$,则A中元素的个数为()
A.9
B.8
C.5
D.4

答案： A $\because x^{2}+y^{2}≤3,\therefore x^{2}≤3$。
$\because x∈Z,\therefore x=-1,0,1$。
当$x=-1$时，$y=-1,0,1$；
当$x=0$时，$y=-1,0,1$；
当$x=1$时，$y=-1,0,1$。
故集合$A$中元素的个数为9。

4.(多选)下列说法不正确的是()
A.集合$\{ x \in \mathbf { N } | x ^ { 3 } = x \}用列举法表示为\{ 0,1 \}$
B.实数集可以表示为$\{ x | x$为所有实数}或$\{ \mathbf { R } \}$
C.方程组$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 0, } \\ { x - y = - 1 } \end{array} \right.的解组成的集合为\left\{ x = - \frac { 1 } { 2 }, y = \frac { 1 } { 2 } \right\}$
D.集合$\{ y | y = x ^ { 2 } \}与\{ ( x, y ) | y = x ^ { 2 } \}$是同一个集合

答案： BCD 对于A，由$x^{3}=x$，得$x(x^{2}-1)=0$，解得$x=0$或$x=\pm 1$。因为$x∈N$（自然数集），所以$x=0$或$x=1$，所以用列举法表示为$\{ 0,1\} $，故A正确。
对于B，$R$就表示实数集，实数集用$\{ R\} $表示错误，另外花括号具有“所有”的含义，描述内容中不能再出现“所有”，所以应表示为$\{ x|x$为实数$\} $或$\{ $实数$\} $，故B错误。
对于C，方程组的解集应写成有序数对的形式，应为$\{ (-\frac {1}{2},\frac {1}{2})\} $，故C错误。
对于D，集合$\{ y|y=x^{2}\} $为$y$的取值集合，为数集，而集合$\{ (x,y)|y=x^{2}\} $为函数$y=x^{2}$图象上的点的集合，二者不是同一个集合，故D错误。

5.集合$\{ x \in \mathbf { Z } | - 3 ＜ 2 x - 1 ＜ 3 \}$用另一种方法表示为______.

答案： $\{ 0,1\} $ $\{ x∈Z|-3＜2x-1＜3\} =\{ x∈Z|-1＜x＜2\} =\{ 0,1\} $。

6.集合$\left\{ y | y = \frac { 4 } { x + 3 }, x \in \mathbf { Z }, y \in \mathbf { Z } \right\}$中的元素个数为______.

答案： 6 因为$y∈Z$，即$\frac {4}{x+3}∈Z$，
所以$x+3$的取值可能为$\pm 1,\pm 2,\pm 4$，分别代入，得$y=\pm 4,\pm 2,\pm 1$，所以集合中的元素个数为6。

7.用适当的方法表示下列集合:
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合为______;
(2)24的正因数组成的集合为______;
(3)自然数的平方组成的集合为______;
(4)由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数构成的集合为______.

答案：
(1)$\{ x|2＜x＜5,x∈Q\} $
(2)$\{ 1,2,3,4,6,8,12,24\} $
(3)$\{ x|x=n^{2},n∈N\} $
(4)$\{ 0,1,2,10,12,20,21,102,120,201,210\} $

8.已知实数x,y满足$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x - k$,集合$A = \{ ( x, y ) \}$.若$k = 1$,试用列举法表示集合A.

答案： 解：因为$k=1$，所以$x^{2}+y^{2}=2x-1$，即$(x-1)^{2}+y^{2}=0$，
所以$\left\{\begin{array}{l} (x-1)^{2}=0,\\ y^{2}=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=0.\end{array}\right. $故集合$A=\{ (1,0)\} $。

9.设集合$A = \{ x | 4 x - 2 ＜ m \}$,若$2 \in A且3 \notin A$,则实数m的取值范围是()
A.$\{ m | 6 ＜ m ＜ 10 \}$
B.$\{ m | 6 \leqslant m ＜ 10 \}$
C.$\{ m | 6 \leqslant m \leqslant 10 \}$
D.$\{ m | 6 ＜ m \leqslant 10 \}$

答案： D 由题意，得$\left\{\begin{array}{l} 4×2-2＜m,\\ 4×3-2≥m,\end{array}\right. $解得$6＜m≤10$。
故实数$m$的取值范围是$\{ m|6＜m≤10\} $。

10.定义集合$A * B = \{ z | z = x - y, x \in A, y \in B \}$.已知集合$A = \{ 1,2 \}, B = \{ 1,2,3 \}$,则集合$A * B$的元素的个数为()
A.6
B.5
C.4
D.3

答案： C 因为$A=\{ 1,2\} ,B=\{ 1,2,3\} ,A*B=\{ z|z=x-y,x∈A,y∈B\} $，所以当$x=1,y=1,2,3$时，$z=0,-1,-2$；当$x=2,y=1,2,3$时，$z=1,0,-1$。综上$A*B=\{ -2,-1,0,1\} $，即集合$A*B$的元素的个数为4。

11.(一题多解)已知集合$A = \{ x | x ^ { 2 } + p x + q = x \}$,集合$B = \{ x | ( x - 1 ) ^ { 2 } + p ( x - 1 ) + q = x + 3 \}$,当$A = \{ 2 \}$时,求集合B.

答案： (一题多解)解：因为集合$A=\{ x|x^{2}+px+q=x\} =\{ 2\} $，
所以方程$x^{2}+(p-1)x+q=0$有两个相等的实数根，即$x_{1}=x_{2}=2$。
方法1：由韦达定理，得$\left\{\begin{array}{l} 2+2=-(p-1),\\ 2×2=q,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} p=-3,\\ q=4,\end{array}\right. $
所以集合$B=\{ x|(x-1)^{2}+p(x-1)+q=x+3\} =\{ x|x^{2}-6x+5=0\} $。
由$x^{2}-6x+5=0$，得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x=1$或$x=5$，故集合$B=\{ 1,5\} $。
方法2：易得$Δ=0$，所以$\left\{\begin{array}{l} (p-1)^{2}-4q=0,\enclose{circle} {1}\\ 4+2(p-1)+q=0.\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $
由②，得$q=-2p-2$。把$q=-2p-2$代入①，得$p^{2}+6p+9=0$，
解得$p=-3$，所以$\left\{\begin{array}{l} p=-3,\\ q=4,\end{array}\right. $
所以集合$B=\{ x|(x-1)^{2}+p(x-1)+q=x+3\} =\{ x|x^{2}-6x+5=0\} $。
由$x^{2}-6x+5=0$，得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x=1$或$x=5$，故集合$B=\{ 1,5\} $。