《2025年一本预备新高一数学》

1. 不等式$(x - 1)(x + 3)＞0$的解集为()
A. $\{x|x＞3或x＜-1\}$
B. $\{x|-3＜x＜1\}$
C. $\{x|x＞1或x＜-3\}$
D. $\{x|-1＜x＜3\}$

答案： 1.C 由$(x - 1)(x + 3) = 0$，可得$x = - 3$或$x = 1$，所以不等式$(x - 1)(x + 3)＞0$的解集为$\{ x|x＞1$或$x＜-3\}$。

2. 已知$a＞0$,则$a+\frac{1}{a}+1$的最小值为()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： 2.B 因为$a＞0$，所以$a+\frac {1}{a}+1≥2\sqrt {a\cdot \frac {1}{a}}+1 = 3$，当且仅当$a=\frac {1}{a}$，即$a = 1$时，等号成立。

3. 设$a＜b＜0$,则下列不等式一定成立的是()
A. $ab＞b^{2}$
B. $\frac{b}{a}＞\frac{a}{b}$
C. $\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$
D. $\frac{a + b}{b}＜1$

答案： 3.A 对于A，因为$a\lt b＜0$，所以$a\cdot b＞b\cdot b$，即$ab＞b^{2}$，A选项正确；对于B，因为$a\lt b＜0$，所以$ab＞0$，$b + a＜0$，$b - a＞0$，所以$\frac {b}{a}-\frac {a}{b}=\frac {(b + a)(b - a)}{ab}＜0$，所以$\frac {b}{a}＜\frac {a}{b}$，B选项错误；对于C，因为$a\lt b＜0$，所以$ab＞0$，所以$\frac {a}{ab}＜\frac {b}{ab}$，即$\frac {1}{b}＜\frac {1}{a}$，C选项错误；对于D，因为$a\lt b＜0$，所以$\frac {a + b}{b}-1=\frac {a}{b}＞0$，即$\frac {a + b}{b}＞1$，D选项错误。

4. 已知$x＞0$,$y＞0$,且$\frac{2}{x}+\frac{4}{y}= 1$,则$2x + y$的最小值为()
A. 16
B. $8 + 4\sqrt{2}$
C. 12
D. $6 + 4\sqrt{2}$

答案： 4.A 因为$x＞0$，$y＞0$，且$\frac {2}{x}+\frac {4}{y}=1$，所以$2x + y=(2x + y)\cdot(\frac {2}{x}+\frac {4}{y})=\frac {2y}{x}+\frac {8x}{y}+8≥2\sqrt {\frac {2y}{x}\cdot \frac {8x}{y}}+8 = 16$，当且仅当$\frac {2y}{x}=\frac {8x}{y}$，即$x = 4$，$y = 8$时，等号成立，所以$2x + y$的最小值为16。

5. 若实数$a$,$b$,$c$,$d满足a＜b$,$c＞d＞0$,则下列不等式一定成立的是()
A. $a + c＞b + d$
B. $\frac{a - b}{c}＞\frac{a - b}{d}$
C. $ac＜bd$
D. $\frac{a}{d}＞\frac{b}{c}$

答案： 5.B 当$a = 1$，$b = 2$，$c = 2$，$d = 1$时，$a + c = 3 = b + d$，$ac = 2 = bd$，$\frac {a}{d}=1=\frac {b}{c}$，故ACD错误。因为$c＞d＞0$，所以$\frac {1}{c}＜\frac {1}{d}$。因为$a\lt b$，所以$a - b＜0$，所以$\frac {a - b}{c}＞\frac {a - b}{d}$，故B正确。

6. 下列不等式的解集为$\mathbf{R}$的是()
A. $3x^{2}-7x\leqslant10$
B. $-\frac{1}{2}x^{2}+x-\frac{1}{2}\leqslant0$
C. $(x + 2)(x - 3)＞0$
D. $-2x^{2}+x＜-3$

答案： 6.B 对于A，$3x^{2}-7x≤10$，即$(x + 1)(3x - 10)≤0$，解得$-1≤x≤\frac {10}{3}$，故A错误；对于B，$-\frac {1}{2}x^{2}+x-\frac {1}{2}≤0$，即$(x - 1)^{2}≥0$，解集为$\mathbf{R}$，故B正确；对于C，$(x + 2)(x - 3)＞0$，解得$x＜-2$或$x＞3$，故C错误；对于D，$-2x^{2}+x＜-3$，即$(x + 1)(2x - 3)＞0$，解得$x＜-1$或$x＞\frac {3}{2}$，故D错误。

7. 若关于$x的不等式ax^{2}+bx + c＞0的解集是\{x|-2＜x＜3\}$,则关于$x的不等式bx^{2}+5ax + c＞0$的解集是()
A. $\{x|2＜x＜3\}$
B. $\{x|x＜2或x＞3\}$
C. $\{x|-1＜x＜6\}$
D. $\{x|x＜-1或x＞6\}$

答案： 7.B 因为关于$x$的不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集是$\{ x|-2\lt x＜3\}$，所以$a＜0$，且方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根为$-2$，$3$，故$-2 + 3=-\frac {b}{a}$，$-2×3=\frac {c}{a}$，则$b = - a＞0$，$c = - 6a＞0$，故不等式$bx^{2}+5ax + c＞0$等价于$-ax^{2}+5ax - 6a＞0$，即$x^{2}-5x + 6＞0$，解得$x＜2$或$x＞3$，所以关于$x$的不等式$bx^{2}+5ax + c＞0$的解集是$\{ x|x＜2$或$x＞3\}$。

8. 已知$1＜a＜2$,$-3＜b＜-1$,则下列结论错误的是()
A. $-2＜a + b＜1$
B. $2＜a - b＜5$
C. $-6＜ab＜-1$
D. $-3＜\frac{b}{a}＜-2$

答案： 8.D 对于A，由于$1\lt a＜2$，$-3\lt b＜-1$，所以$-2\lt a + b＜1$，故A正确；对于B，由于$1\lt a＜2$，$-3\lt b＜-1$，所以$1＜-b＜3$，所以$2\lt a - b＜5$，故B正确；对于C，由于$1\lt a＜2$，$-3\lt b＜-1$，所以$-6\lt ab＜-1$，故C正确；对于D，由于$1\lt a＜2$，$-3\lt b＜-1$，所以$\frac {1}{2}＜\frac {1}{a}＜1$，所以$-3＜\frac {b}{a}＜-\frac {1}{2}$，故D错误。

9. 下列说法正确的是()
A. 不等式$x^{2}-12x + 20＞0的解集为\{x|x＜2或x＞10\}$
B. 不等式$x^{2}-5x + 6＜0的解集为\{x|2＜x＜3\}$
C. 不等式$9x^{2}-6x + 1＞0的解集为\mathbf{R}$
D. 不等式$-2x^{2}+2x - 3＞0的解集为\varnothing$

答案： 9.ABD 对于A，不等式$x^{2}-12x + 20＞0$的解集为$\{ x|x＜2$或$x＞10\}$，故A正确；对于B，不等式$x^{2}-5x + 6＜0$的解集为$\{ x|2\lt x＜3\}$，故B正确；对于C，不等式$9x^{2}-6x + 1＞0$的解集为$\{ x|x≠\frac {1}{3}\}$，故C错误；对于D，不等式$-2x^{2}+2x - 3＞0$，即$(x-\frac {1}{2})^{2}+\frac {5}{4}＜0$，解集为$\varnothing$，故D正确。

10. 若$a＞b＞0$,则下列不等式一定成立的是()
A. $\frac{b + 1}{a + 1}＞\frac{b}{a}$
B. $\frac{a}{b}＜\frac{b}{a}$
C. $a＞\sqrt{ab}＞b$
D. $a+\frac{1}{b}＞b+\frac{1}{a}$

答案： 10.ACD 对于A，$\frac {b + 1}{a + 1}-\frac {b}{a}=\frac {a(b + 1)-b(a + 1)}{a(a + 1)}=\frac {a - b}{a(a + 1)}＞0$，故A正确。对于B，$\frac {a}{b}＞1＞\frac {b}{a}＞0$，故B错误。对于C，$\frac {a}{\sqrt {ab}}=\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}＞1$，所以$a＞\sqrt {ab}$。因为$\frac {\sqrt {ab}}{b}=\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}＞1$，所以$\sqrt {ab}＞b$，所以$a＞\sqrt {ab}＞b$，故C正确。对于D，$a+\frac {1}{b}-b-\frac {1}{a}=(a - b)(1+\frac {1}{ab})＞0$，故D正确。

11. 下列选项正确的是()
A. 若$x\neq0$,则$x+\frac{1}{x}$的最小值为2
B. 若$x＞1$,则$x+\frac{1}{x - 1}$的最小值为3
C. $y= \sqrt{x^{2}+3}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+3}}$的最小值为2
D. $y = 2 + x+\frac{1}{x}(x＜0)$的最大值为0

答案： 11.BD 对于A，当$x＜0$时，$x+\frac {1}{x}＜0$，故$x+\frac {1}{x}$的最小值不为2，故A错误；对于B，当$x＞1$时，$x - 1＞0$，$x+\frac {1}{x - 1}=x - 1+\frac {1}{x - 1}+1≥2\sqrt {(x - 1)\cdot \frac {1}{x - 1}}+1 = 3$，当且仅当$x - 1=\frac {1}{x - 1}$，即$x = 2$时，等号成立，故B正确；对于C，因为$\sqrt {x^{2}+3}≥\sqrt {3}$，所以$y=\sqrt {x^{2}+3}+\frac {1}{\sqrt {x^{2}+3}}≥2$，当且仅当$\sqrt {x^{2}+3}=\frac {1}{\sqrt {x^{2}+3}}$时，等号成立，但是$x^{2}+3 = 1$无实数根，所以取不到等号，故C错误；对于D，当$x＜0$时，$-x＞0$，$-x+\frac {1}{-x}≥2$，故$x+\frac {1}{x}≤-2$，因此$y = 2 + x+\frac {1}{x}≤0$，当且仅当$-x=\frac {1}{-x}$，即$x = - 1$时，等号成立，故D正确。

12. 已知关于$x的不等式ax^{2}+bx + c\leqslant0的解集是\{x|x\leqslant-2或x\geqslant6\}$,则下列说法正确的是()
A. $a＜0$
B. 不等式$cx^{2}-bx + a＜0的解集是\{x|-\frac{1}{6}＜x＜\frac{1}{2}\}$
C. $a + b + c＞0$
D. 不等式$bx + c＞0的解集是\{x|x＜-3\}$

答案： 12.ABC 因为关于$x$的不等式$ax^{2}+bx + c≤0$的解集是$\{ x|x≤-2$或$x≥6\}$，所以$\left\{\begin{array}{l} a＜0,\\ -2 + 6=-\frac {b}{a},\\ -2×6=\frac {c}{a},\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a＜0,\\ b = - 4a,\\ c = - 12a,\end{array}\right.$故A正确；$cx^{2}-bx + a＜0$可化为$-12ax^{2}+4ax + a＜0$，即$12x^{2}-4x - 1＜0$，解得$-\frac {1}{6}\lt x＜\frac {1}{2}$，故B正确；$a + b + c = a - 4a - 12a = - 15a＞0$，故C正确；$bx + c＞0$可化为$-4ax - 12a＞0$，即$x + 3＞0$，解得$x＞-3$，故D错误。