《2025年一本预备新高一数学》

【典例2】
设集合A = {x|-2 ＜ x ≤ 5},B = {x|m - 1 ≤ x ≤ 2m + 1}。
(1) 若A∩B = B,求m的取值范围；
(2) 若A∩B = ∅,求m的取值范围。

答案：
解题指导
(1) 第1步：由“A∩B = B”得出“B⊆A”。
第2步：由“B⊆A”想到需考虑B为空集的情况,故按B = ∅和B ≠ ∅进行分类讨论。
第3步：结合数轴列出不等式(组)求解,注意检验不等式是否能取到端点值。
(2) 第1步：由A∩B = ∅,想到当B = ∅时也符合题意。
第2步：当B ≠ ∅时,结合数轴中两集合对应范围无公共部分,列出不等式(组)求解。
答案
解：
(1)
∵A∩B = B,
∴B⊆A。
又
∵集合A = {x|-2 ＜ x ≤ 5},B = {x|m - 1 ≤ x ≤ 2m + 1},
∴①当B = ∅时,得m - 1 ＞ 2m + 1,解得m ＜ -2；
②当B ≠ ∅时,把集合A,B在数轴上表示出来,如图所示。

由图易得$\begin{cases}m - 1 ≤ 2m + 1 \\ m - 1 ＞ -2 \\ 2m + 1 ≤ 5\end{cases}$,
解得-1 ＜ m ≤ 2。
综上所述,m的取值范围为{m|m ＜ -2或-1 ＜ m ≤ 2}。
(2) ①当B = ∅,即m ＜ -2时,符合题意；
②当B ≠ ∅时,结合如图所示的数轴,

易得$\begin{cases}m - 1 ≤ 2m + 1 \\ 2m + 1 ≤ -2\end{cases}或\begin{cases}m - 1 ≤ 2m + 1 \\ m - 1 ＞ 5\end{cases}$,
解得-2 ≤ m ≤ -$\frac{3}{2}$或m ＞ 6。
综上所述,m的取值范围为{m|m ≤ -$\frac{3}{2}$或m ＞ 6}。

【变式2】
设集合A = {x|-3 ≤ x ≤ 3},B = {x|2m - 1 ＜ x ≤ 3m + 4}。
(1) 若A∪B = A,则m的取值范围为 ；
(2) 若A∩B = ∅,则m的取值范围为 。

答案：

(1){m|m≤−5或−1≤m≤−$\frac{1}{3}$}　
(2){m|m＜−$\frac{7}{3}$或m≥2}　
(1)
∵A∪B=A,
∴B⊆A.分类讨论:①当B=∅时,易得2m−1≥3m+4,解得m≤−5;
　②当B≠∅时，结合如图所示的数轴，
　　　　　　　　
　易得{2m−1＜3m+4,①2m−1≥−3,②3m+4≤3,③(注意:②③均可取等.因为取等时满足B⊆A)
　解得−1≤m≤−$\frac{1}{3}$.
　综上所述，m的取值范围为{m|m≤−5或−1≤m≤−$\frac{1}{3}$}.
(2)①当B=∅,即m≤−5时,符合题意;
　②当B≠∅时，结合如图所示的数轴，
　易得{2m−1＜3m+4,①3m+4＜−3,②或{2m−1＜3m+4,③2m−1≥3,④(注意:②取等时,A∩B≠∅,故②不取等;④取等时，满足A∩B=∅)
　解得−5＜m＜−$\frac{7}{3}$或m≥2.
　综上所述，m的取值范围为{m|m＜−$\frac{7}{3}$或m≥2}.

1. 已知集合$A = {0,1,2},B = {x∈Z|x^2 ＜ 3},$则A∩B = ()
A. {0,1}
B. {-1,0,2}
C. {-1,0,1,2}
D. {-1,0,1}

答案： A集合A={0,1,2},B={x∈Z|x²＜3}={−1,0,1},则A∩B={0,1}.

2. (北京卷)已知集合M = {x|x + 2 ≥ 0},N = {x|x - 1 ＜ 0},则M∩N = ()
A. {x|-2 ≤ x ＜ 1}
B. {x|-2 ＜ x ≤ 1}
C. {x|x ≥ -2}
D. {x|x ＜ 1}

答案： A集合M={x｜x+2≥0}={x|x≥−2},N={x｜x−1＜0}={x|x＜1},则M∩N={x|-2≤x＜1}.

3. 设集合A = {x|-1 ＜ x ＜ 3},B = {x|2 ≤ x ≤ 4},则A∪B = ()
A. {x|2 ≤ x ＜ 3}
B. {x|2 ≤ x ≤ 3}
C. {x|-1 ＜ x ＜ 4}
D. {x|-1 ＜ x ≤ 4}

答案： D　因为集合A={x｜−1＜x＜3},B={x|2≤x≤4},所以A∪B={x|-1＜x≤4}.

4. (多选)设集合$A = {x|x^2 - (a + 2)x + 2a = 0},B = {x|x^2 - 5x + 4 = 0}。$若集合A∪B中所有元素之和为7,则实数a的值为()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： ABC　由题意,得B={x｜x²−5x+4=0}={1,4}.由x²−(a+2)x+2a=0,得x=2或x=a,所以集合A∪B中必定含有1,2,4这3个元素.
　又因为A∪B中所有元素之和为7,
　当a与1,2,4不重复时,由1+2+4=7,得a=0,所以实数a的值为0或1或2或4.