《2025年一本预备新高一数学》

6. (教材改编题) 判断下列命题的类型及真假, 并写出这些命题的否定.
(1) 三角形的内角和等于 $ 180^{\circ} $;
(2) 每个二次函数的图象都开口向下;
(3) 有的平行四边形的对角线相等;
(4) $ \exists x \in \mathbf{R}, x^{2} = - 1 $.

答案： 解：
(1)是全称量词命题且为真命题。命题的否定：存在一个三角形，它的内角和不等于$180^{\circ}$。
(2)是全称量词命题且为假命题。命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下。
(3)是存在量词命题且为真命题。命题的否定：所有的平行四边形的对角线都不相等。
(4)是存在量词命题且为假命题。命题的否定：$\forall x∈R,x^{2} ≠ -1$。

7. 已知命题 $ p $: $ \exists x \in \mathbf{R}, m - x^{2} + 2x - 5 ＞ 0 $, 若 $ p $ 的否定为假命题, 求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 解：因为$p$的否定为假命题，所以命题$p$：$\exists x∈R,m - x^{2} + 2x - 5 ＞ 0$为真命题。$m - x^{2} + 2x - 5 ＞ 0$可化为$m ＞ x^{2} - 2x + 5 = (x - 1)^{2} + 4≥4$，即要使$\exists x∈R,m ＞ x^{2} - 2x + 5$成立，只需$m ＞ 4$即可，故实数$m$的取值范围为$\{ m|m ＞ 4\}$。

8. 已知命题 $ p $: $ \exists x \in \{ x \mid 1 ＜ x ＜ 3 \}, x - a \geqslant 0 $, 若 $ \neg p $ 是真命题, 则实数 $ a $ 的取值范围是()
A. $ \{ a \mid a ＜ 1 \} $
B. $ \{ a \mid a ＞ 3 \} $
C. $ \{ a \mid a \leqslant 3 \} $
D. $ \{ a \mid a \geqslant 3 \} $

答案： D 因为命题$p$：$\exists x∈\{ x|1 ＜ x ＜ 3\},x - a≥0$，所以命题$\neg p$：$\forall x∈\{ x|1 ＜ x ＜ 3\},x - a ＜ 0$。又$\neg p$是真命题，所以在$x∈\{ x|1 ＜ x ＜ 3\}$上，$a ＞ x$恒成立，所以$a≥3$，所以实数$a$的取值范围是$\{ a|a≥3\}$。

9. (多选) 下列说法正确的是()
A. 命题 $ p $: $ \exists x ＞ 0, x^{2} - 6x - 12 = 0 $, 则 $ p $ 的否定: $ \forall x ＞ 0, x^{2} - 6x - 12 \neq 0 $
B. 命题 $ p $: $ \forall x ＞ 0, x(x - 4) ＞ 0 $, 则 $ p $ 的否定: $ \exists x \leqslant 0, x(x - 4) \leqslant 0 $
C. 命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定是真命题
D. 命题“存在两个不全等的三角形的面积相等”的否定是假命题

答案： ACD 选项 A，命题$p$：$\exists x ＞ 0,x^{2} - 6x - 12 = 0$，则$p$的否定：$\forall x ＞ 0,x^{2} - 6x - 12 ≠ 0$。故 A 正确。
选项 B，命题$p$：$\forall x ＞ 0,x(x - 4) ＞ 0$，则$p$的否定：$\exists x ＞ 0,x(x - 4)≤0$。故 B 错误。
选项 C，命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定为“存在一个平行四边形的四个顶点不都在同一个圆上”，是真命题(或者根据原命题为假命题，故其否定为真命题进行判断)。故 C 正确。
选项 D，命题“存在两个不全等的三角形的面积相等”的否定为“任意两个不全等的三角形的面积不相等”，是假命题。故 D 正确。

10. 写出下列命题的否定, 并判断命题的否定的真假.
(1) 存在某个整数 $ a $, 使得 $ a^{2} = a $;
(2) 任意实数都可以写成平方和的形式;
(3) $ \forall m ＞ 0 $, 方程 $ x^{2} + x - m = 0 $ 有实数根.

答案： 解：
(1)命题“存在某个整数$a$，使得$a^{2} = a$”，其否定为“对任意整数$a$，都有$a^{2} ≠ a$”。因为当$a = 0$或$a = 1$时，$a^{2} = a$，所以原命题的否定为假命题。
(2)命题“任意实数都可以写成平方和的形式”，其否定为“存在实数不可以写成平方和的形式”。因为负数不可以写成平方和的形式，所以原命题为假命题，其否定为真命题。
(3)命题“$\forall m ＞ 0$，方程$x^{2} + x - m = 0$有实数根”，其否定为“$\exists m ＞ 0$，方程$x^{2} + x - m = 0$无实数根”。因为$m ＞ 0$，所以$\Delta = 1 + 4m ＞ 0$，所以当$m ＞ 0$时，方程$x^{2} + x - m = 0$有实数根，所以原命题为真命题，其否定为假命题。

11. (一题多解) 已知命题 $ p $: $ \exists x \in \{ x \mid - 1 ＜ x ＜ 3 \}, x^{2} - a - 2 \leqslant 0 $. 若 $ p $ 为假命题, 求 $ a $ 的取值范围.
(提示: 方法1: 由 $ p $ 为假命题, 得 $ \neg p $ 为真命题, 据此可将问题转化为恒成立问题求解. 方法2: 由 $ x $ 的范围得到 $ x^{2} - a - 2 $ 的范围, 再根据 $ p $ 为假命题列出不等式(组)求解)

答案： (一题多解)解：方法 1：因为$p$为假命题，所以$\neg p$：$\forall x∈\{ x|-1 ＜ x ＜ 3\},x^{2} - a - 2 ＞ 0$为真命题，即当$-1 ＜ x ＜ 3$时，$a ＜ x^{2} - 2$恒成立。因为当$-1 ＜ x ＜ 3$时，$y = x^{2} - 2$的最小值为$-2$，所以$a ＜ -2$，即$a$的取值范围为$\{ a|a ＜ -2\}$。
方法 2：当$-1 ＜ x ＜ 3$时，$0≤x^{2} ＜ 9$，所以$-2≤x^{2} - 2 ＜ 7$，$-2 - a≤x^{2} - a - 2 ＜ 7 - a$。根据题意，得$-2 - a ＞ 0$，解得$a ＜ -2$，即$a$的取值范围为$\{ a|a ＜ -2\}$。