《2025年一本预备新高一数学》

【典例1】已知集合 $ A $ 中有三个元素：$ a - 3,2a - 1,a^2 + 1 $. 集合 $ B $ 中也有三个元素：$ 0,1,x $.
(1)若 $ -3 \in A $,求实数 $ a $ 的值；
(2)若 $ x^2 \in B $,求实数 $ x $ 的值.
解题指导
第1步：针对 $ -3 $ 是集合 $ A $ 中的哪个元素,$ x^2 $ 是集合 $ B $ 中的哪个元素进行分类讨论,列出方程求解.
第2步：检验是否满足集合中元素的互异性.

答案： 答案
解：
(1)$ \because $ 集合 $ A $ 中有三个元素：$ a - 3,2a - 1,a^2 + 1 $,且 $ -3 \in A $,
$ \therefore a - 3 = -3 $ 或 $ 2a - 1 = -3 $,
解得 $ a = 0 $ 或 $ a = -1 $.
当 $ a = 0 $ 时,集合 $ A $ 中的元素为 $ -3,-1,1 $,成立；
当 $ a = -1 $ 时,集合 $ A $ 中的元素为 $ -4,-3,2 $,成立.
综上,实数 $ a $ 的值为 $ 0 $ 或 $ -1 $.
(2)$ \because $ 集合 $ B $ 中有三个元素：$ 0,1,x $,且 $ x^2 \in B $,$ \therefore x^2 = 0 $ 或 $ x^2 = 1 $ 或 $ x^2 = x $,
解得 $ x = 0 $ 或 $ x = 1 $ 或 $ x = -1 $.
$ \because $ 集合中的元素具有互异性,
$ \therefore x \neq 0,x \neq 1 $,$ \therefore x = -1 $.
故实数 $ x $ 的值为 $ -1 $.

【变式1】已知集合 $ A $ 中有三个元素：$ 2,3,a^2 + 2a - 3 $. 集合 $ B $ 中有两个元素：$ 2,|a + 3| $. 若 $ 5 \in A $ 且 $ 5 \notin B $,求实数 $ a $ 的值.

答案： 解：$ \because $ 集合 $ A $ 中含有元素 $ 2 $，$ 3 $，$ a^2 + 2a - 3 $，且 $ 5 \in A $，
$ \therefore a^2 + 2a - 3 = 5 $，
$ \therefore a^2 + 2a - 8 = 0 $，即 $ (a - 2)(a + 4) = 0 $，
$ \therefore a = 2 $ 或 $ a = - 4 $。
$ \because $ 集合 $ B $ 中含有元素 $ 2 $，$ | a + 3 | $，且 $ 5 \notin B $，
$ \therefore | a + 3 | \neq 5 $，$ \therefore a \neq 2 $ 且 $ a \neq - 8 $。
综上，实数 $ a $ 的值为 $ - 4 $。

【典例2】已知集合 $ A $ 中有三个元素：$ a,\frac{b}{a},1 $. 集合 $ B $ 中也有三个元素：$ a^2,a + b,0 $. 若 $ A = B $,则 $ a^{2024} + b^{2024} $ 的值为______.
解题指导
第1步：首先由“$ A = B $”,分析集合 $ A $ 中的哪个元素和集合 $ B $ 中的元素 $ 0 $ 相等.
第2步：由集合 $ A $ 中的元素 $ \frac{b}{a} $,得出 $ a \neq 0 $,故 $ \frac{b}{a} = 0 $,即 $ b = 0 $.
第3步：将 $ b = 0 $ 代入集合 $ A $ 和集合 $ B $,再根据“$ A = B $”列出方程求解.
第4步：最后注意检验是否满足集合中元素的互异性.

答案： 解析
由集合 $ A $ 中元素为 $ a,\frac{b}{a},1 $,知 $ a \neq 0 $.
$ \because $ 集合 $ B $ 中元素为 $ a^2,a + b,0 $,且 $ A = B $,
$ \therefore \frac{b}{a} = 0 $,即 $ b = 0 $.
此时集合 $ A $ 中的元素为 $ a,0,1 $；
集合 $ B $ 中的元素为 $ a^2,a,0 $.
易得 $ a^2 = 1 $,解得 $ a = \pm 1 $.
经检验,当 $ a = 1 $ 时,
集合 $ A $ 不满足元素的互异性,故舍去；
当 $ a = -1 $ 时,符合题意.
综上,$ a = -1,b = 0 $,
$ \therefore a^{2024} + b^{2024} = 1 $.
答案 1