《2025年一本预备新高一数学》

【典例2】设 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数, 且当 $ x ＜ 0 $ 时, $ f(x) = 3x - 1 $, 则 $ f(0) + f(4) = $ ____.

答案： 解题指导 根据奇函数的性质: $ f(0) = 0 $, $ f(-x) = -f(x) $ 求解.
解析 因为 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数, 所以 $ f(0) = 0 $, $ f(4) = -f(-4) $. 因为当 $ x ＜ 0 $ 时, $ f(x) = 3x - 1 $, 所以 $ f(4) = -f(-4) = -(-4 × 3 - 1) = 13 $, 所以 $ f(0) + f(4) = 0 + 13 = 13 $.
答案 13

【变式2】(一题多解) 已知函数 $ f(x) = ax^3 + bx + \frac{c}{x} + 3 $, 若 $ f(t) = 4 $, 求 $ f(-t) $ 的值.

答案： 变式2(一题多解) 解：方法1：$\because f(x)=ax^{3}+bx+\frac {c}{x}+3(x≠0)$，$\therefore f(x)-3=ax^{3}+bx+\frac {c}{x}$是奇函数，$\therefore f(-t)-3=-[f(t)-3]=-(4 - 3)=-1$，即$f(-t)=3 - 1 = 2$.
方法2：根据题意，得$at^{3}+bt+\frac {c}{t}+3 = 4$，即$at^{3}+bt+\frac {c}{t}=1$，$\therefore f(-t)=a(-t)^{3}-bt-\frac {c}{t}+3=-(at^{3}+bt+\frac {c}{t})+3=-1 + 3 = 2$.

1. 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数, 且当 $ x \geq 0 $ 时, $ f(x) = x^2 - 2x $, 则 $ f(-1) $ 的值为 ()
A. 3
B. -1
C. 1
D. 以上都不对

答案： 1.C 因为函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(-1)=-f(1)=-(1^{2}-2×1)=1$.

2. 函数 $ f(x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{1 - x} $ 是 ()
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 既是奇函数又是偶函数

答案： 2.A 由函数解析式可知，$\{ x|x≠\pm 1\}$，即$f(x)$的定义域关于原点对称.又$f(x)=\frac {1}{1+x}-\frac {1}{1-x}$，$f(-x)=\frac {1}{1-x}-\frac {1}{1+x}=-f(x)$，所以函数$f(x)=\frac {1}{1+x}-\frac {1}{1-x}$是奇函数.

3. 若奇函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [-5, 5] $, 当 $ x \in [-5, 0] $ 时, 函数 $ f(x) $ 的图象如图所示, 则不等式 $ f(x) ＞ 0 $ 的解集为 ()

A. $ (-5, -2) $
B. $ (0, 2) $
C. $ (-5, -2) \cup (0, 2) $
D. $ (-2, 0) \cup (2, 5) $

答案：
3.C 因为函数$f(x)$是奇函数，所以$f(x)$在$[-5,5]$上的图象关于原点对称.由$f(x)$在$x\in [-5,0]$上的图象，知$f(x)$在$[0,5]$上的图象如图所示，则不等式$f(x)＞0$的解集为$(-5,-2)\cup (0,2)$.

4. (多选) 给定的四个函数是奇函数的有 ()
A. $ f(x) = x^3 $
B. $ f(x) = \frac{2}{x} $
C. $ f(x) = x^2 + 1 $
D. $ f(x) = |x| - 1 $

答案： 4.AB 因为$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$，且定义域为$\mathbf{R}$，所以$f(x)=x^{3}$是奇函数，故A正确；因为$f(-x)=\frac {2}{-x}=-\frac {2}{x}=-f(x)$，且定义域为$\{ x|x≠0\}$，所以$f(x)=\frac {2}{x}$是奇函数，故B正确；因为$f(-x)=(-x)^{2}+1=x^{2}+1=f(x)$，显然$f(x)=x^{2}+1$不是奇函数，故C错误；因为$f(-x)=|-x|-1=|x|-1=f(x)$，显然$f(x)=|x|-1$不是奇函数，故D错误.