《2025年一本预备新高一数学》

【学以致用】下列命题为真命题的是 ()

A.若 $ ac ＞ bc $,则 $ a ＞ b $
B.若 $ a ＞ b $,则 $ \frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c} $
C.若 $ a ＞ b $,则 $ ac^{2} ＞ bc^{2} $
D.若 $ a ＞ b $,则 $ a - c ＞ b - c $

答案： D 在A中，当$c＜0$时，不成立；在B中，当$c＜0$时，不成立；在C中，当$c=0$时，不成立；在D中，当$c∈R$时，恒成立。

【典例1】已知 $ a,b,c \in \mathbf{R} $,下列命题中,正确的是______.(填序号)
①若 $ a ＞ b $,则 $ ac^{2} ＞ bc^{2} $；
②若 $ a ＞ b ＞ 0 $,则 $ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $；
③若 $ \frac{b}{a} ＞ 0 $,则 $ ab ＞ 0 $；
④若 $ a ＞ b ＞ c $,则 $ |a + b| ＞ |b + c| $.

答案： 解题指导 逐项进行分析,①取特值 $ c = 0 $ 检验；②不等式两边同时乘 $ \frac{1}{ab} $；③不等式两边同时乘 $ a^{2} $；④取特值 $ a = 1,b = 0,c = -2 $ 检验.
解析 ①若 $ a ＞ b $,当 $ c = 0 $ 时,则 $ ac^{2} = bc^{2} $,故①错误；②若 $ a ＞ b ＞ 0 $,不等式两边同时乘 $ \frac{1}{ab} $,得 $ \frac{1}{b} ＞ \frac{1}{a} ＞ 0 $,即 $ 0 ＜ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $,故②正确；③若 $ \frac{b}{a} ＞ 0 $,不等式两边同时乘 $ a^{2} $,得 $ ab ＞ 0 $,故③正确；④若 $ a ＞ b ＞ c $,当 $ a = 1,b = 0,c = -2 $ 时,则 $ |a + b| ＜ |b + c| $,故④错误.
答案 ②③