《2025年一本预备新高一数学》

【学以致用2】下列选项表示空集的是()
A.$ \{ x \in \mathbf{R} | x ^ { 2 } + 1 = 0 \} $
B.$ \{ \varnothing \} $
C.$ \{ 0 \} $
D.$ 0 $

答案： A 对于A，因为方程$x^{2}+1 = 0$无实数根，所以集合$\{ x∈R|x^{2}+1 = 0\} = \varnothing $，故A正确；对于B，因为集合$\{ \varnothing \}$中有一个元素∅，所以不是空集，故B错误；对于C，因为集合$\{ 0\}$中有一个元素0，所以不是空集，故C错误；对于D，0不是集合，故D错误。
[反思总结]空集“∅”的含义是不含任何元素的集合。$\{ 0\}$表示以“0”为元素的集合，$\{ \varnothing \}$表示以“∅”为元素的集合，它们均不是空集。

【典例1】判断下列各组集合之间的关系:
(1)$ A = \{ y | y = x ^ { 2 } - 2 x - 1, x \in \mathbf{R} \}, B = \{ x | - 1 ＜ x ＜ 2 \} $;
(2)(一题多解)$ A = \{ n | n = 3 k + 1, k \in \mathbf{N} \}, B = \{ n | n = 3 m - 2, m \in \mathbf{N} \} $;
(3)$ M = \left\{ x \left| x = \frac { k } { 3 } + \frac { 1 } { 6 }, k \in \mathbf { Z } \right. \right\}, N = \left\{ x \left| x = \frac { k } { 6 } + \frac { 1 } { 3 }, k \in \mathbf { Z } \right. \right\} $.
解题指导 (1)集合$ A 表示的是 y $的取值范围,故先求出$ y $的范围,进而结合数轴进行判断.
(2)由“$ k \in \mathbf{N} $”可想到用列举观察法,将两个集合中的元素分别一一列出,再进行判断.
(3)集合中有分数,故考虑先将$ \frac { 1 } { 6 } $提取,把集合化简后再进行判断.

答案：
答案 解:
(1)(数形结合法)$\because y = x ^ { 2 } - 2 x - 1 = x ^ { 2 } - 2 x + 1 - 2 = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 2 \geqslant - 2, \therefore A = \{ y | y \geqslant - 2 \} $.将集合$ A, B $在数轴上表示出来,如图所示,结合数轴,可知$ B \subsetneqq A $.

(2)(一题多解)方法1(列举观察法):$ A = \{ 1, 4, 7, 10, … \}, B = \{ - 2, 1, 4, 7, 10, … \} $,故$ A \subsetneqq B $.
方法2(元素特征法):对于任意$ n \in A $,有$ n = 3 k + 1 = 3 ( k + 1 ) - 2 $,当$ k \in \mathbf{N} $时,$ k + 1 \in \mathbf{N} $,故$ A 中的每一个元素均属于 B, \therefore A \subseteq B $.
又$\because - 2 \in B $,而$ - 2 \notin A, \therefore A \subsetneqq B $.
(3)(元素特征法)由$ M = \left\{ x \left| x = \frac { k } { 3 } + \frac { 1 } { 6 }, k \in \mathbf { Z } \right. \right\} = \left\{ x \left| x = \frac { 1 } { 6 } ( 2 k + 1 ), k \in \mathbf { Z } \right. \right\} $,知集合$ M 表示的是 \frac { 1 } { 6 } $的奇数倍;由$ N = \left\{ x \left| x = \frac { k } { 6 } + \frac { 1 } { 3 }, k \in \mathbf { Z } \right. \right\} = \left\{ x \left| x = \frac { 1 } { 6 } ( k + 2 ), k \in \mathbf { Z } \right. \right\} $,知集合$ N 表示的是 \frac { 1 } { 6 } $的整数倍,故$ M 是 N $的真子集,即$ M \subsetneqq N $.