《2025年一本预备新高一数学》

【学以致用1】设$ab＞0$,则“$a＞b$”是“$\frac {1}{a}＜\frac {1}{b}$”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： C　充分性:若$a＞b$,则$b−a＜0$,所以$\frac{1}{a}−\frac{1}{b}=\frac{b−a}{ab}＜0$,即$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，故充分性成立.
　必要性:若$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$,则两边同时乘$ab$，得$b＜a$,故必要性成立.
　所以当$ab＞0$时,“$a＞b$”是“$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$”的充要条件.

【学以致用2】“$x^{2}+(y-2)^{2}= 0$”是“$x(y-2)= 0$”的()
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B　充分性:由$x²+(y−2)²=0$,解得$x=0$且$y=2$,所以$x(y−2)=0$,故充分性成立.
　必要性:由$x(y−2)=0$,解得$x=0$或$y=2$,此时$x²+(y−2)²=0$不一定成立.
　所以“$x²+(y−2)²=0$”是“$x(y−2)=0$”的充分不必要条件.
[反思总结]关键看$p$能否推出$q$(充分性)以及$q$能否推出$p$(必要性).

【学以致用3】设集合$A= \{ x||x|≤1\} ,B= \{ x|\frac {x+1}{x-1}≤0\}$,则“$x∈A$”是“$x∈B$”的()
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： C　易得$A=\{ x||x|≤1\} =\{ x|-1≤x≤1\} $,解不等式$\frac {x+1}{x-1}≤0$,得$\left\{\begin{array}{l} (x+1)(x-1)≤0,\\ x-1≠0,\end{array}\right. $解得$-1≤x＜1$,所以$B=\{ x|-1≤x＜1\} $.易得$B\subsetneqq A$,所以“$x∈A$”是“$x∈B$”的必要不充分条件.