《2025年一本预备新高一数学》

4.(多选)下列选项正确的是()
A.空集也存在子集
B.任意集合至少有两个子集
C.空集是任何集合的真子集
D.若$ \varnothing \subsetneqq A $,则$ A \neq \varnothing $

答案： 4.AD 因为空集是任意一个集合的子集，所以空集的子集是空集，故A正确；因为空集只有一个子集，故B错误；因为空集是任意一个非空集合的真子集，空集并不是它本身的真子集，故C错误、D正确。

5.若集合$ A = \{ x | x \geqslant - 2 \} $,集合$ B = \{ x | - 2 \leqslant x ＜ 8 \} $,则集合$ A 与 B $的关系是____.

答案：
5.$B\subsetneqq A$ 在数轴上表示出集合A，B，如图所示，易知$B\subsetneqq A$。

6.(教材改编题)若集合$ A = \{ x | x = a ^ { 2 } + 1, a \in \mathbf { N } \}, B = \{ y | y = b ^ { 2 } - 4 b + 5, b \in \mathbf { N } \} $,则集合$ A 与 B $的关系是____.

答案： 6.$A = B$
∵集合$B = \{ y|y = b^{2}-4b + 5,b∈N\} = \{ y|y = (b - 2)^{2}+1,b∈N\}$，
∴集合B中的元素本质上与集合A一样，均表示非负整数的平方加1，
∴$A = B$。

7.(教材改编题)已知集合$ P = \{ x | - 1 ＜ x ＜ 3 \}, Q = \{ x | 2 m - 1 ＜ x ＜ 3 m - 2 \} $,若$ Q \subseteq P $,求实数$ m $的取值范围.

答案：
7.解：①当$Q = \varnothing $时，则$2m - 1\geq3m - 2$，解得$m\leq1$；
②当$Q≠\varnothing $时，

$\begin{cases}3m - 2 ＞ 2m - 1\\2m - 1\geq - 1\\3m - 2\leq3\end{cases}$
解得$1 ＜ m\leq\frac{5}{3}$。
综上，实数m的取值范围为$\{ m|m\leq\frac{5}{3}\}$。

8.(新课标Ⅱ卷)设集合$ A = \{ 0, - a \} $,$ B = \{ 1, a - 2, 2 a - 2 \} $,若$ A \subseteq B $,则$ a = $()
A.$ 2 $
B.$ 1 $
C.$ \frac { 2 } { 3 } $
D.$ - 1 $

答案： 8.B ①若$a - 2 = 0$，解得$a = 2$，此时$A = \{ 0,-2\}$，$B = \{ 1,0,2\}$，不符合题意；②若$2a - 2 = 0$，解得$a = 1$，此时$A = \{ 0,-1\}$，$B = \{ 1,-1,0\}$，符合题意。
综上所述，$a = 1$。

9.(多选)若集合$ A = \{ x | x ^ { 2 } - x = 0 \} $,$ B = \{ x | x \subseteq A \} $,则下列表示正确的是()
A.$ \varnothing \subseteq B $
B.$ \varnothing \in B $
C.$ A \subseteq B $
D.$ A \in B $

答案： 9.ABD 集合$A = \{ x|x^{2}-x = 0\} = \{ 0,1\}$。由题可知，集合B表示由集合A的子集作为元素所构成的集合，所以$B = \{ \varnothing,\{ 0\},\{ 1\},\{ 0,1\}\}$，所以∅作为集合有$\varnothing \subseteq B$，作为元素有$\varnothing ∈B$，故A、B均正确；A为数集，B中元素为集合，故C错误；集合A作为元素时，可以有$A∈B$，故D正确。

10.(一题多解)若$ A = \{ x | x = 1 + a ^ { 2 }, a \in \mathbf { N } ^ { * } \}, B = \{ x | x = a ^ { 2 } - 4 a + 5, a \in \mathbf { N } ^ { * } \} $,则集合$ A 与 B $的关系是____.

答案： 10.（一题多解）$A\subsetneqq B$ 方法1：$x = 1 + a^{2}=(a + 2)^{2}-4(a + 2)+5$。
∵$a∈N^{*}$，
∴$a + 2∈N^{*}$，
∴对于任意$x∈A$，均有$x∈B$。由子集的定义，知$A\subseteq B$。设$1∈B$，此时$a^{2}-4a + 5 = 1$，解得$a = 2∈N^{*}$。
∵$1 + a^{2}=1$在$a∈N^{*}$时无解，
∴$1∉A$。综上所述，$A\subsetneqq B$。
方法2：$A = \{ x|x = 1 + a^{2},a∈N^{*}\}$，$B = \{ x|x = a^{2}-4a + 5,a∈N^{*}\} = \{ x|x = (a - 2)^{2}+1,a∈N^{*}\}$。
∵A中元素表示正整数的平方加1，B中元素表示非负整数的平方加1以及 - 1的平方加1，
∴B中元素比A中元素多了$0^{2}+1 = 1$，其余元素均相同，
∴$A\subsetneqq B$。

11.已知集合$ A = \{ x | 0 ＜ a x + 1 \leqslant 5 \}, B = \left\{ x \left| - \frac { 1 } { 2 } ＜ x \leqslant 2 \right. \right\} $.
(1)若$ A \subseteq B $,求实数$ a $的取值范围.
(2)是否存在实数$ a $,使得$ A = B $? 若存在,求出$ a $的值;若不存在,请说明理由.
(提示:(1)第1步:分类讨论求出集合$ A 中 x $的范围;第2步:画数轴,根据$ A \subseteq B $列不等式组求解;(2)根据$ A = B 确定 a $的正负,进而列出方程组求解)

答案：
11.解：
(1)①当$a = 0$时，$A = \{ x|0 ＜ 1\leq5\} = R$，故$A\subseteq B$不成立。
②当$a ＜ 0$时，$A = \{ x|\frac{4}{a}\leq x ＜ -\frac{1}{a}\}$，如图。

因为$A\subseteq B$，所以$\begin{cases}\frac{4}{a}＞-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{a}\leq2\end{cases}$，解得$a ＜ - 8$。
③当$a ＞ 0$时，$A = \{ x|-\frac{1}{a}＜x\leq\frac{4}{a}\}$，如图。

因为$A\subseteq B$，所以$\begin{cases}\frac{4}{a}\leq2\\-\frac{1}{a}\geq-\frac{1}{2}\end{cases}$
解得$a\geq2$。
综上，实数a的取值范围是$\{ a|a ＜ - 8$或$a\geq2\}$。
(2)存在。
①当$a = 0$时，$A = R$，$A = B$不成立；
②当$a ＜ 0$时，$A = \{ x|\frac{4}{a}\leq x ＜ -\frac{1}{a}\}$，$A = B$不成立；
③当$a ＞ 0$时，$A = \{ x|-\frac{1}{a}＜x\leq\frac{4}{a}\}$。
因为$A = B$，所以$\begin{cases}\frac{4}{a}=2\\-\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$a = 2$。
综上，a的值是2。