《2025年一本预备新高一数学》

【典例1】某主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层,并要求隔热层的使用年限为30年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是5万元,设每年的能源消耗费用为C万元,隔热层厚度为x cm,两者满足关系式:C(x)= k/(5x+5)(0≤x≤10,k为常数).若无隔热层,则每年的能源消耗费用为6万元,30年的总维修费用为30万元,记f(x)为30年的总费用.(总费用= 隔热层的建造成本+使用30年的能源消耗费用+30年的总维修费用)
(1)求f(x)的解析式.
(2)当隔热层的厚度为多少厘米时,30年的总费用最小? 最小是多少?

答案： 解题指导 第1步:表示隔热层的建造成本为5x.
第2步:表示使用30年的能源消耗费用.已知C(x)= k/(5x+5),利用当x= 0时,C= 6,求得k.
第3步:表示出f(x)的解析式.
第4步:利用基本不等式对f(x)的解析式进行变形,转化为“积定和最小”的形式求值.
答案 解:
(1)依题意,当x= 0时,C= 6,即6= k/5,可得k= 30,故C(x)= 30/(5x+5),
所以f(x)= 5x+30/(5x+5)×30+30= 5x+900/(5x+5)+30(0≤x≤10).

(2)f(x)= 5x+900/(5x+5)+30= 5x+5+900/(5x+5)+25≥2√{(5x+5)·900/(5x+5)}+25= 85(0≤x≤10),当且仅当5x+5= 900/(5x+5),即x= 5时,等号成立,所以当隔热层的厚度为5cm时,30年的总费用最小,最小是85万元.