《2025年一本预备新高一数学》

13. 不等式$-2x^{2}+x + 1＞0$的解集为____．

答案： 13.$\{ x|-\frac {1}{2}\lt x＜1\}$ 由$-2x^{2}+x + 1＞0$，得$2x^{2}-x - 1＜0$。整理，得$(2x + 1)(x - 1)＜0$，解得$-\frac {1}{2}\lt x＜1$，所以不等式$-2x^{2}+x + 1＞0$的解集为$\{ x|-\frac {1}{2}\lt x＜1\}$。

14. 函数$y = x+\frac{1}{x - 4}(x＞4)在x = $____时取得最小值,最小值为____．

答案： 14.5 6 由题意，得$x - 4＞0$，则$y = x - 4+\frac {1}{x - 4}+4≥2\sqrt {(x - 4)\cdot \frac {1}{x - 4}}+4 = 6$，当且仅当$x - 4=\frac {1}{x - 4}$，即$x = 5$时，等号成立。

15. 已知$a$,$b$都是正数,则$\frac{b}{a}+\frac{a + b}{b}$的最小值为____．

答案： 15.3 因为$a$，$b$都是正数，所以$\frac {b}{a}+\frac {a + b}{b}=\frac {b}{a}+\frac {a}{b}+1≥2\sqrt {\frac {b}{a}\cdot \frac {a}{b}}+1 = 3$，当且仅当$\frac {b}{a}=\frac {a}{b}$，即$a = b$时，等号成立，故$\frac {b}{a}+\frac {a + b}{b}$的最小值为3。

16. 已知$a$,$b$,$c$,$d\in\mathbf{R}$,则下列命题一定成立的是____．(填序号)
①若$a＞b$,$c＞b$,则$a＞c$；
②若$a＞-b$,则$c - a＜c + b$；
③若$a＞b$,$c＜d$,则$\frac{a}{c}＞\frac{b}{d}$；
④若$a^{2}＞b^{2}$,则$-a＜-b$．

答案： 16.② 对于①，若$a = 4$，$b = 2$，$c = 5$，则满足$a＞b$，$c＞b$，而此时$a\lt c$，所以①错误；对于②，因为$a＞-b$，所以$-a\lt b$，所以$c - a\lt c + b$，所以②正确；对于③，若$a = 2$，$b = 1$，$c = - 1$，$d = 1$，则满足$a＞b$，$c\lt d$，而此时$\frac {a}{c}＜\frac {b}{d}$，所以③错误；对于④，若$a = - 1$，$b = 0$，则满足$a^{2}＞b^{2}$，而此时$-a＞-b$，所以④错误。

17. (1)若$0＜x＜2$,求$y = 3x(2 - x)$的最大值；
(2)已知$x＞0$,$y＞0$,$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}= 1$,求$x + y$的取值范围．

答案： 17.解：
(1)由$0\lt x＜2$，得$y = 3x(2 - x)≤3×(\frac {x + 2 - x}{2})^{2}=3$，当且仅当$x = 2 - x$，即$x = 1$时，等号成立，所以$y = 3x(2 - x)$的最大值为3。
(2)因为$x＞0$，$y＞0$，$\frac {1}{x}+\frac {4}{y}=1$，
所以$x + y=(x + y)(\frac {1}{x}+\frac {4}{y})=\frac {4x}{y}+\frac {y}{x}+5≥2\sqrt {\frac {4x}{y}\cdot \frac {y}{x}}+5 = 9$，当且仅当$\frac {4x}{y}=\frac {y}{x}$，即$x = 3$，$y = 6$时，等号成立，所以$x + y$的取值范围为$x + y≥9$。

18. 某工厂新建员工宿舍,建造宿舍的费用$P$(万元)和宿舍与工厂的距离$x$(km)的关系为$P= \frac{k}{3x + 2}(0\leqslant x\leqslant5)$．当距离为1km时,测算建造宿舍的费用为40万元．为了交通方便,工厂和宿舍之间还要修一条道路,已知铺设路面的成本为6万元/km(只考虑路面长度),设建造宿舍与修路的费用之和为$y$(万元)．
(1)求$y关于x$的解析式．
(2)宿舍建在离工厂多远处时,可使总费用最小？最小为多少？

答案： 18.解：
(1)由题意，得$40=\frac {k}{3×1 + 2}$，解得$k = 200$，则建造宿舍与修路的费用之和$y = P + 6x=\frac {200}{3x + 2}+6x(0≤x≤5)$。
(2)$y=\frac {200}{3x + 2}+6x=\frac {200}{3x + 2}+2(3x + 2)-4≥2\sqrt {\frac {200}{3x + 2}×2(3x + 2)}-4 = 36$，当且仅当$\frac {200}{3x + 2}=2(3x + 2)$，即$x=\frac {8}{3}$时，等号成立，所以宿舍建在离工厂$\frac {8}{3}\text{ km}$处时，可使总费用最小，最小为36万元。

19. (1)$a$,$b$,$c$为实数,求证：$a(a - b)+b(b - c)+c(c - a)\geqslant0$；
(2)设$a\geqslant b＞0$,求证：$a^{3}+b^{3}\geqslant a^{2}b + ab^{2}$．

答案： 19.证明：
(1)要证$a(a - b)+b(b - c)+c(c - a)≥0$，需证$a^{2}+b^{2}+c^{2}≥ab + bc + ca$。
$\because a^{2}+b^{2}≥2ab$，$b^{2}+c^{2}≥2bc$，$c^{2}+a^{2}≥2ca$，
(当且仅当$a = b$，$b = c$，$c = a$时，等式成立)
三式相加，得$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}≥2ab + 2bc + 2ca$，
$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}≥ab + bc + ca$，
即$a(a - b)+b(b - c)+c(c - a)≥0$。
(2)$(a^{3}+b^{3})-(a^{2}b + ab^{2})=(a^{3}-a^{2}b)+(b^{3}-ab^{2})=a^{2}(a - b)+b^{2}(b - a)=(a^{2}-b^{2})(a - b)=(a + b)(a - b)^{2}$。
$\because a＞0$，$b＞0$，$\therefore a + b＞0$。
又$\because (a - b)^{2}≥0$，$\therefore (a + b)(a - b)^{2}≥0$，故$(a^{3}+b^{3})-(a^{2}b + ab^{2})≥0$，即$a^{3}+b^{3}≥a^{2}b + ab^{2}$。

20. 已知关于$x的不等式ax^{2}-3x + b＞0的解集为\{x|x＜1或x＞2\}$．
(1)求$a$,$b$的值；
(2)当$c＞0$时,求关于$x的不等式cx^{2}-(ac + 1)x + 1＜0$的解集(用$c$表示)．
(提示：(1)根据不等式的解集得到对应方程的根,代入求解；(2)将$cx^{2}-(ac + 1)x + 1$利用十字相乘法进行因式分解,求得对应方程的两个实数根,进而分类讨论求不等式的解集)

答案： 20.解：
(1)因为关于$x$的不等式$ax^{2}-3x + b＞0$的解集为$\{ x|x＜1$或$x＞2\}$，所以$x_{1}=1$，$x_{2}=2$是方程$ax^{2}-3x + b = 0$的两个根，所以$\left\{\begin{array}{l} 1 + 2=\frac {3}{a},\\ 1×2=\frac {b}{a},\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a = 1,\\ b = 2.\end{array}\right.$
(2)由
(1)，知$cx^{2}-(c + 1)x + 1＜0$。
令$cx^{2}-(c + 1)x + 1=(x - 1)(cx - 1)=0$，得$x = 1$或$x=\frac {1}{c}$。
①当$c = 1$时，不等式的解集为$\varnothing$；
②当$c＞1$时，解得$\frac {1}{c}\lt x＜1$，所以不等式的解集为$\{ x|\frac {1}{c}\lt x＜1\}$；
③当$0\lt c＜1$时，解得$1\lt x＜\frac {1}{c}$，所以不等式的解集为$\{ x|1\lt x＜\frac {1}{c}\}$。
综上，当$0\lt c＜1$时，不等式的解集为$\{ x|1\lt x＜\frac {1}{c}\}$；
当$c = 1$时，不等式的解集为$\varnothing$；
当$c＞1$时，不等式的解集为$\{ x|\frac {1}{c}\lt x＜1\}$。