《2025年一本预备新高一数学》

【学以致用4】下列每组对象,能组成集合的是 ()
①某高中高一年级聪明的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于 $ 3 $ 的正整数；
④ $ \sqrt{3} $ 的近似值.
A. ①②
B. ③④
C. ②③
D. ①③

答案： C 对于①，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的标准；对于④，“$ \sqrt{3} $的近似值”，对近似值的精确度没有明确定义，故①④不符合题意；②和③符合集合的定义以及集合中元素的三个特性，故②③符合题意。
【反思总结】判断一组对象能否构成集合的关键在于看其是否有明确的判断标准判断给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的。如果是“确定无疑”的，就可以构成集合。

【学以致用5】若三个元素 $ 3,x,x^2 - 2x $ 构成一个集合,求实数 $ x $ 的取值范围.

答案： 解：根据集合中元素的互异性，列出不等式组
$\begin{cases}x \neq 3, \\x^2 - 2x \neq x, \\x^2 - 2x \neq 3\end{cases}$
即
$\begin{cases}x \neq 3, \\x(x - 3) \neq 0, \\(x - 3)(x + 1) \neq 0\end{cases}$
解得 $ x \neq 3 $ 且 $ x \neq 0 $ 且 $ x \neq -1 $。
故实数 $ x $ 的取值范围是 $ \{ x | x \neq 3 $ 且 $ x \neq 0 $ 且 $ x \neq -1 \} $。
【反思总结】在计算含有“$ \neq $”的不等式时，可以先将其看作等式运算出结果，再将“$ = $”改为“$ \neq $”。

【学以致用6】给出下列关系：
① $ \frac{1}{2} \in \mathbf{R} $；② $ | - 3 | \notin \mathbf{N} $；③ $ | - \sqrt{3} | \in \mathbf{Q} $；④ $ 0 \notin \mathbf{N} $.
其中正确的个数为 ()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： A ① $ \frac{1}{2} $ 是实数，故①正确；② $ | - 3 | = 3 $ 是自然数，故②错误；③ $ | - \sqrt{3} | = \sqrt{3} $ 是无理数，不是有理数，故③错误；④ $ 0 $ 是自然数，故④错误。