《2025年一本预备新高一数学》

4. 下列命题是全称量词命题的是______,是存在量词命题的是______.(填序号)
①菱形的四条边相等；
②所有含两个$60^{\circ}$角的三角形都是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数.

答案： ①②③ ④ ①可表述为“每一个菱形的四条边都相等”，是全称量词命题；②含有全称量词“所有”，是全称量词命题；③可表述为“所有负数的立方根都不等于0”，是全称量词命题；④含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题.

5. 下列三个命题中,真命题的个数是______.
①$\forall x\in \mathbf{R}$,$2x^{2}-3x + 4\gt 0$；
②$\forall x\in \{1,-1,0\}$,$2x + 1\gt 0$；
③$\exists x\in \mathbf{N}^{*}$,$x为方程x^{2}-1 = 0$的根.

答案： 2 对于①，因为$2x^{2}-3x+4=2(x-\frac{3}{4})^{2}+\frac{23}{8}＞0$，故①正确；对于②，当$x=-1$时，$2x+1＜0$，故②错误；对于③，$x=1$是方程$x^{2}-1=0$的一个根，且$1\in\mathbf{N}^{*}$，故③正确.综上，真命题的个数是2.

6. (教材改编题)用量词符号“$\forall$”“$\exists$”表述下列命题,并判断真假.
(1) 所有实数$x都能使x^{2}+x + 1\gt 0$成立；
(2) 对于所有实数$a$,$b$,方程$ax + b = 0$恰有一个解；
(3) 一定有整数$x$,$y$,使得$3x - 2y = 10$成立.

答案： 解：
(1)$\forall x\in\mathbf{R}$，$x^{2}+x+1＞0$，是真命题.
(2)$\forall a$，$b\in\mathbf{R}$，方程$ax+b=0$恰有一个解，是假命题.如当$a=0$，$b=0$时，该方程的解有无数个.
(3)$\exists x$，$y\in\mathbf{Z}$，$3x-2y=10$，是真命题.

7. 已知命题“$\forall 1\leqslant x\leqslant 2$,$x^{2}-m\geqslant 0$”为真命题,求实数$m$的取值范围.

答案： 解：因为命题“$\forall 1\leqslant x\leqslant2$，$x^{2}-m\geqslant0$”为真命题，所以$m\leqslant x^{2}$在$1\leqslant x\leqslant2$上恒成立，故$m\leqslant(x^{2})_{\min}$，即$m\leqslant1$，所以实数$m$的取值范围是$\{m|m\leqslant1\}$.

8. (多选)命题“$\forall -1\leqslant x\leqslant 3$,$x^{2}-m\leqslant 0$”是真命题的一个充分不必要条件是 ()
A. $m\geqslant 9$
B. $m\geqslant 11$
C. $m\geqslant 10$
D. $m\leqslant 10$

答案： BC 由题意，得$m\geqslant x^{2}$.因为$0\leqslant x^{2}\leqslant9$，所以当$m\geqslant9$时，原命题为真命题.根据题意，得所选范围对应集合应为集合$\{m|m\geqslant9\}$的真子集，故$m\geqslant10$，$m\geqslant11$均可.

9. 若命题“$\exists x\in \mathbf{R}$,$4x^{2}-2x + m = 0$”为假命题,则实数$m$的取值范围为______.

答案： $\{m|m＞\frac{1}{4}\}$ 由题意可知，不存在$x$使方程$4x^{2}-2x+m=0$有解，即方程$4x^{2}-2x+m=0$无实数解，所以$\Delta=(-2)^{2}-4\times4m＜0$，解得$m＞\frac{1}{4}$.故实数$m$的取值范围为$\{m|m＞\frac{1}{4}\}$.

10. 下列存在量词命题为真命题的是______.(填序号)
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数$x_{0}$,使$x_{0}^{2}+x_{0}+1\lt 0$；
③存在实数$a$,使函数$y = ax + b的值随x$的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身.

答案： ①③④ 要使存在量词命题为真命题，只需有1个特例符合即可.三角形面积相等，只需满足底乘高相等即可，并不一定要相似，故①正确；$x_{0}^{2}+x_{0}+1=0$对应的判别式为$\Delta=-3＜0$，则$x_{0}^{2}+x_{0}+1＞0$恒成立，故②错误；要使函数$y=ax+b$为增函数，$a＞0$即可，故③正确；设实数为$a$，令$a=\frac{1}{a}$，解得$a=\pm1$，故④正确.

11. 设集合$A = \{x\mid 1\leqslant x\leqslant 5\}$,集合$B = \{x\mid -1 - 2a\leqslant x\leqslant a - 2\}$.
(1) 若$A\cap B = A$,求实数$a$的取值范围；
(2) 若命题“$\forall x\in B$,$x\in A$”是真命题,求实数$a$的取值范围.
(提示：(1) 由$A\cap B = A$,得$A\subseteq B$,据此列出不等式(组)求解. (2) 由命题“$\forall x\in B$,$x\in A$”是真命题,得$B\subseteq A$. 因为集合$B$中含参,故先讨论$B = \varnothing$的情况,然后列出不等式(组)求解)

答案： 解：
(1)因为$A\cap B=A$，所以$A\subseteq B$，
所以$\begin{cases}a-2\geqslant-1-2a,\\a-2\geqslant5,\\-1-2a\leqslant1,\end{cases}$解得$a\geqslant7$，
所以实数$a$的取值范围是$\{a|a\geqslant7\}$.
(2)因为命题“$\forall x\in B$，$x\in A$”是真命题，所以$B\subseteq A$.
分类讨论：
①当$B=\varnothing$时，$-1-2a＞a-2$，解得$a＜\frac{1}{3}$；
②当$B\neq\varnothing$时，$\begin{cases}-1-2a\geqslant1,\\a-2\leqslant5,\\-1-2a\leqslant a-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a\leqslant-1,\\a\leqslant7,\\a\geqslant\frac{1}{3},\end{cases}$
所以$a\in\varnothing$.
综上所述，实数$a$的取值范围是$\{a|a＜\frac{1}{3}\}$.