《2025年一本预备新高一数学》

【变式3】(1) 若命题“$\forall x\in \{x\mid -1\lt x\lt 1\}$,$x^{2}-2x - a\gt 0$”为真命题,则实数$a$的取值范围是______；

答案：
(1)$\{a|a\leqslant-1\}$
(2)$\{a|a\geqslant-3\}$
(1)命题“$\forall x\in\{x|-1＜x＜1\}$，$x^{2}-2x-a＞0$”为真命题，即不等式$a＜x^{2}-2x$在$-1＜x＜1$上恒成立.设$y=x^{2}-2x$，其中$-1＜x＜1$.根据二次函数的性质，得$y_{\min}＞f(1)=-1$，$a＜y_{\min}$，所以$a\leqslant-1$.故实数$a$的取值范围是$\{a|a\leqslant-1\}$.

(2) 若$\exists x\in \mathbf{R}$,使得$x^{2}-3\leqslant a$,则实数$a$的取值范围是______.

答案：
(2)因为$\exists x\in\mathbf{R}$，使得$x^{2}-3\leqslant a$，所以$a\geqslant(x^{2}-3)_{\min}$.又因为$y=x^{2}-3$的最小值为$-3$，所以$a\geqslant-3$.故实数$a$的取值范围是$\{a|a\geqslant-3\}$.

1. 下列命题是存在量词命题的是 ()
A. $\forall x\in \mathbf{R}$,$x^{2}\gt 0$
B. $\exists x\in \mathbf{R}$,$x^{2}\leqslant 0$
C. 平行四边形的对边平行
D. 矩形的任意一组对边相等

答案： B A含有全称量词符号“$\forall$”，为全称量词命题；B含有存在量词符号“$\exists$”，为存在量词命题；C省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；D为“任意一个矩形，它的任意一组对边相等”，为全称量词命题.

2. 下列存在量词命题是假命题的是 ()
A. $\exists x\in \mathbf{Z}$,$x^{2}-2x - 3 = 0$
B. 至少有一个$x\in \mathbf{Z}$,使$x$能同时被2和3整除
C. 有的三角形没有外接圆
D. 某些四边形不存在外接圆

答案： C A中，当$x=-1$或$x=3$时满足题意，故原命题是真命题；B中，当$x=6$时满足题意，故原命题是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，故原命题是假命题；D中，只有对角互补的四边形才有外接圆，故原命题是真命题.

3. (多选)已知集合$A = \{x\mid x\geqslant 0\}$,$B = \{x\mid x\gt 1\}$,则 ()
A. $\exists x\in A$,$x\in B$
B. $\exists x\in B$,$x\notin A$
C. $\forall x\in A$,$x\notin B$
D. $\forall x\in B$,$x\in A$

答案： AD 因为集合$A=\{x|x\geqslant0\}$，$B=\{x|x＞1\}$，所以$B$是$A$的真子集，所以$\exists x\in A$，$x\in B$或$\forall x\in B$，$x\in A$.