《2025年一本预备新高一数学》

【变式3】已知 $ -1 \leqslant a + b \leqslant 1,1 \leqslant a - 2b \leqslant 3 $,求 $ a + 3b $ 的取值范围.

答案： 解：设$a+3b=m(a+b)+n(a-2b)=(m+n)a+(m-2n)b$，
则$\begin{cases}m+n=1\\m-2n=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{5}{3}\\n=-\frac{2}{3}\end{cases}$，所以$a+3b=\frac{5}{3}(a+b)-\frac{2}{3}(a-2b)$。因为$-1≤a+b≤1$，$1≤a-2b≤3$，所以$-\frac{5}{3}≤\frac{5}{3}(a+b)≤\frac{5}{3}$，$-2≤-\frac{2}{3}(a-2b)≤-\frac{2}{3}$。由不等式的基本性质，得$-\frac{11}{3}≤\frac{5}{3}(a+b)-\frac{2}{3}(a-2b)≤1$，即$-\frac{11}{3}≤a+3b≤1$。

1.下列不等式正确的是 ()
A.若 $ a ＞ b $,则 $ a + c ＜ b + c $
B.若 $ a ＞ b,c ＞ d $,则 $ ac ＞ bd $
C.若 $ a ＞ b,c ＞ d $,则 $ \frac{a}{c} ＜ \frac{b}{d} $
D.若 $ a ＞ b,c ＞ d $,则 $ a + c ＞ b + d $

答案： D 对于A，若$a＞b$，则$a+c＞b+c$，故A错误；对于BC，若$a＞b$，$c＞d$，令$a=-2$，$b=-4$，$c=2$，$d=1$，则$ac=bd=-4$，$\frac{a}{c}=-1＞\frac{b}{d}=-4$，故BC错误；对于D，若$a＞b$，$c＞d$，根据不等式的同向可加性，得$a+c＞b+d$，故D正确。

2.已知 $ a ＞ b ＞ c $,则下列不等式一定成立的是 ()
A. $ ac ＞ bc $
B. $ ab ＞ bc $
C. $ a + c ＞ 2b $
D. $ a - c ＞ b - c $

答案： D 对于A，若$c=0$，则不等式不成立，故A错误；对于B，若$b=0$，则不等式不成立，故B错误；对于C，若$a=1$，$b=0$，$c=-1$，则不等式不成立，故C错误；对于D，因为$a＞b$，所以$a-c＞b-c$，故D正确。

3.已知 $ -1 ＜ a ＜ 2,-2 ＜ b ＜ 3 $,则下列不等式错误的是 ()
A. $ -3 ＜ a + b ＜ 5 $
B. $ -4 ＜ a - b ＜ 4 $
C. $ 2 ＜ ab ＜ 6 $
D. $ a^{2} + b^{2} ＜ 13 $

答案： C 对于A，因为$-1＜a＜2$，$-2＜b＜3$，所以$-3＜a+b＜5$，故A正确。对于B，由$-2＜b＜3$，得$-3＜-b＜2$。因为$-1＜a＜2$，所以$-4＜a-b＜4$，故B正确。对于C，因为$-1＜a＜2$，$-2＜b＜3$，当$a=0$，$b=0$时，$ab=0$，不满足$2＜ab＜6$，故C错误。对于D，因为$-1＜a＜2$，所以$a^{2}＜4$。因为$-2＜b＜3$，所以$b^{2}＜9$，所以$a^{2}+b^{2}＜13$，故D正确。

4.(教材改编题)(多选)对于实数 $ a,b,c $,下列命题正确的是 ()
A.若 $ a ＜ b $,则 $ ac ＜ bc $
B.若 $ a ＞ b,c \neq 0 $,则 $ ac^{2} ＞ bc^{2} $
C.若 $ \frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b},a,b $ 同号,则 $ a ＜ b $
D.若 $ a ＜ b ＜ 0 $,则 $ a^{2} ＞ ab ＞ b^{2} $

答案： BCD 若$a＜b$，当$c≤0$时，可得$ac≥bc$，故A错误。若$a＞b$，$c≠0$，则$c^{2}＞0$，$ac^{2}＞bc^{2}$，故B正确。若$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$，则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}＞0$。因为$a$，$b$同号，所以$ab＞0$，所以$b-a＞0$，所以$a＜b$，故C正确。若$a＜b＜0$，则$a^{2}-ab=a(a-b)＞0$，$ab-b^{2}=b(a-b)＞0$，即$a^{2}＞ab＞b^{2}$，故D正确。

5.若 $ -1 \leqslant a \leqslant 3,-2 \leqslant b \leqslant 1 $,则 $ 2a - 3b $ 的取值范围是______.

答案： $-5≤2a-3b≤12$ 因为$-1≤a≤3$，$-2≤b≤1$，所以$-2≤2a≤6$，$-3≤-3b≤6$，所以$-5≤2a-3b≤12$。

6.若 $ a,b \in \mathbf{R} $,则使 $ a ＞ b $ 和 $ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $ 同时成立的条件是______.(写出一个即可)

答案： $a＞b＞0$(答案不唯一) 因为$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，所以$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}＜0$。因为$a＞b$，即$b-a＜0$，所以$ab＞0$，所以$a＞b＞0$或$0＞a＞b$。