《2025年一本预备新高一数学》

15. 设A,B是两个非空集合,定义：$A\odot B= \{ x|x∈(A\cup B)且x∉(A\cap B)\}$,已知$A= \{ x|y= \sqrt {x-1}\}$,$B= \{ x||x-1|＞1\}$,则$A\odot B= $____。

答案： 15.{x|x＜0或1≤x≤2}
∵A={x|y = √(x - 1)}={x|x≥1}，B={x||x - 1|＞1}={x|x＜0或x＞2}，
∴A∪B={x|x＜0或x≥1}，A∩B={x|x＞2}，
∴A⊝B={x|x＜0或1≤x≤2}。

16. 设集合$A= \{ -1,0\}$,集合$B= \{ x∈N|0≤x＜a\}$,若B中恰有2个元素,且定义$A*B= \{ (x,y)|x∈(A\cap B),y∈(A\cup B)\}$,则$A*B$的子集个数是____。

答案： 16.8　因为集合B={x∈N|0≤x＜a}，且B中恰有2个元素，所以1＜a≤2，所以B={0,1}。因为A={ - 1,0}，所以A∩B={0}，A∪B={ - 1,0,1}。又因为A*B={(x,y)|x∈(A∩B),y∈(A∪B)}，所以A*B={(0, - 1),(0,0),(0,1)}，所以A*B的子集个数是2³ = 8。

17. 设集合$U= \{ x|x≤5\}$,$A= \{ x|1≤x≤5\}$,$B= \{ x|-1≤x≤4\}$,求：
(1)$A\cup B$；
(2)$(\complement _{U}A)\cup B$；
(3)$(\complement _{U}A)\cup (\complement _{U}B)$。

答案： 17.解：
(1)A∪B={x| - 1≤x≤5}。
(2)
∵∁UA={x|x＜1}，
∴(∁UA)∪B={x|x≤4}。
(3)
∵∁UA={x|x＜1}，∁UB={x|x＜ - 1或4＜x≤5}，
∴(∁UA)∪(∁UB)={x|x＜1或4＜x≤5}。

18. 已知集合$A= \{ x||x|≤3\}$,$B= \{ x|3-a＜x＜a+1\}$。
(1)当$a= 4$时,求$(\complement _{R}A)\cap B$；
(2)若$A\cup B= A$,求实数a的取值范围。

答案： 18.解：
(1)因为A={x||x|≤3}={x| - 3≤x≤3}，所以∁RA={x|x＜ - 3或x＞3}。因为a=4，所以B={x|3 - a＜x＜a + 1}={x| - 1＜x＜5}，所以(∁RA)∩B={x|3＜x＜5}。
(2)因为A∪B=A，所以B⊆A。当B=∅时，易得3 - a≥a + 1，解得a≤1，符合题意；当B≠∅时，易得{ a ＞ 1, -3 ≤ 3 - a, a + 1 ≤ 3 }，解得1 ＜ a ≤ 2。
综上，a≤2，即实数a的取值范围为{a|a≤2}。

19. 设全集$U= R$,集合$A= \{ x|0＜x＜\frac {1}{2}\}$,$B= \{ x|ax-1＞0\}$。
(1)当$a= 1$时,求$A\cup B$,$\complement _{U}A$；
(2)若$B\subseteq (\complement _{U}A)$,求实数a的取值范围。

答案： 19.解：
(1)当a=1时，B={x|x - 1＞0}={x|x＞1}。因为A={x|0 ＜ x ＜ 1/2}，所以A∪B={x|0 ＜ x ＜ 1/2或x＞1}，∁UA={x|x≤0或x≥1/2}。
(2)当a＞0时，B={x|x ＞ 1/a}，所以1/a ≥ 1/2，解得0 ＜ a ≤ 2；
当a=0时，B=∅，符合题意；
当a＜0时，B={x|x ＜ 1/a}，所以1/a ≤ 0，解得a＜0。
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤2}。

20. 设集合$A= \{ x|x^{2}+3x+2= 0\}$,$B= \{ x|x^{2}+(m+1)x+m= 0\}$。
(1)用列举法表示集合A；
(2)若$A\cap B= B$,求实数m的值。
(提示：(2)由$A\cap B= B$,得$B\subseteq A$,故先考虑B是否为空集,然后利用十字相乘法因式分解求得集合B中方程的两根并进行讨论)

答案： 20.解：
(1)
∵A={x|x² + 3x + 2=0}={ - 1, - 2}，
∴用列举法表示集合A为A={ - 1, - 2}。
(2)
∵A∩B=B，
∴B⊆A。
由x² + (m + 1)x + m=0，得Δ=(m + 1)² - 4m=(m - 1)² ≥ 0，
∴方程x² + (m + 1)x + m=0有解，B≠∅。
①当m=1时，得x² + 2x + 1=0，
解得x₁=x₂ = - 1，
此时B={ - 1}，满足B⊆A；
②当m≠1时，得(x + 1)(x + m)=0，
解得x₁ = - 1，x₂ = - m，
若要使B⊆A，则需使 - m = - 2，即m=2。
综上所述，实数m的值为1或2。