《2025年一本预备新高一数学》

13. 已知a＞b＞0,则$\sqrt {a}-\sqrt {b}$______$\sqrt {a-b}$。(填“＞”“＜”或“=”)

答案： 13.＜ 先平方后作差，即$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}-(a - b)=2(b-\sqrt{ab})=2\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})$。因为$a＞b＞0$，所以$\sqrt{a}＞\sqrt{b}＞0$，所以$\sqrt{b}-\sqrt{a}＜0$，所以$2\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})＜0$，所以$\sqrt{a}-\sqrt{b}＜\sqrt{a - b}$。

14. 若a,b都是实数,试从①ab= 0；②a+b= 0；$③a(a^2+b^2)= 0；$④ab＞0中选出满足下列条件的式子,用序号填空。
(1)使a,b都不为0的充分条件是______；
(2)使a,b至少有一个为0的充要条件是______。

答案： 14.
(1)④
(2)① 逐个求解：①$ab = 0\Leftrightarrow a = 0$或$b = 0$或$a = b = 0$，即$a$，$b$至少有一个为0；②$a + b = 0\Leftrightarrow a$，$b$互为相反数，则$a$，$b$可能均为0，也可能为一正数一负数；③$a(a^{2}+b^{2}) = 0\Leftrightarrow a = 0$，$b$为任意实数或$a$，$b$均为0；④$ab＞0\Leftrightarrow\begin{cases}a＞0,\\b＞0\end{cases}$或$\begin{cases}a＜0,\\b＜0,\end{cases}$即$a$，$b$都不为0。
综上可知，
(1)使$a$，$b$都不为0的充分条件是④。
(2)使$a$，$b$至少有一个为0的充要条件是①。

15. 某商场举办优惠酬宾赠券活动,购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张,并且每天购物只能用一张优惠券。一位顾客得到三张优惠券,三张优惠券的具体优惠方式如下：
优惠券1：若标价超过100元,则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元,则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元,则超过100元的部分减免18%。
如果顾客购买商品后,使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多,那么你建议他购买的商品的标价可以是______元。

答案： 15.201（答案不唯一，在$200＜x＜225$范围中任取一个实数作为答案即可） 设购买的商品的标价为$x$元，$x＞100$，使用优惠券1时减免$10\%x$元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免$(x - 100)\times18\%$元。由题意，得$10\%x＞20$且$10\%x＞(x - 100)\times18\%$，解得$200＜x＜225$。

16. 若“1-m＜x+m＜2m”是“-1＜x＜1”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为______。

答案： 16.$\{m|m＞1\}$ 由$1 - m＜x + m＜2m$，得$1 - 2m＜x＜m$。根据题意，得$\{x|-1＜x＜1\}\subseteq\{x|1 - 2m＜x＜m\}$，所以$1 - 2m＜m$，$1 - 2m\leq - 1$，$m\geq1$，且等号不同时成立，解得$m＞1$，即实数$m$的取值范围为$\{m|m＞1\}$。

17. 用不等式表示下列关系。
(1)x为实数,大于1且不大于6；
(2)x与y的平方和不小于2且不大于10。

答案： 17.解：
(1)$x$为实数，大于1可表示为$x＞1$，不大于6可表示为$x\leq6$，所以用不等式表示为$1＜x\leq6$。
(2)$x$与$y$的平方和表示为$x^{2}+y^{2}$，不小于2表示为$\geq2$，不大于10表示为$\leq10$，所以用不等式表示为$2\leq x^{2}+y^{2}\leq10$。

18. 写出下列命题的否定,并判断真假。
(1)$\exists x,y∈Z$,使得$\sqrt {2}x+y= 3$；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)$\forall x∈R,x^{2}-3x≤0$；
(4)$\exists x∈R,x^{2}+2x+2≤0$。

答案： 18.解：
(1)命题“$\exists x,y\in Z$，使得$\sqrt{2}x + y = 3$”为存在量词命题，故其否定为全称量词命题“$\forall x,y\in Z$，使得$\sqrt{2}x + y\neq3$”。当$x = 0$，$y = 3$时，$\sqrt{2}x + y = 3$，故否定命题为假命题。
(2)“所有末位数字是0或5的整数都能被5整除”为全称量词命题，其否定为存在量词命题“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”。因为所有末位数字是0或5的整数都能被5整除，原命题为真命题，所以否定命题为假命题。
(3)“$\forall x\in R,x^{2}-3x\leq0$”为全称量词命题，其否定为存在量词命题“$\exists x\in R,x^{2}-3x＞0$”。当$x＜0$或$x＞3$时，$x^{2}-3x＞0$，故否定命题为真命题。
(4)“$\exists x\in R,x^{2}+2x+2\leq0$”为存在量词命题，其否定为全称量词命题“$\forall x\in R,x^{2}+2x+2＞0$”。因为$\forall x\in R$，$x^{2}+2x+2=(x + 1)^{2}+1＞0$恒成立，所以否定命题为真命题。

19. 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,靠墙的一边长为x m。
(1)若要求菜园的面积不小于$110m^2,$试用不等式组表示其中的不等关系；
(2)若矩形的长、宽都不能超过11m,试求出x满足的不等关系。

答案： 19.解：
(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为$x$m，而墙长为18m，所以$0＜x\leq18$，这时菜园的另一边长为$\frac{30 - x}{2}=(15-\frac{x}{2})$m，所以菜园的面积$S = x(15-\frac{x}{2})m^{2}$。依题意，得$S\geq110$，即$x(15-\frac{x}{2})\geq110$。
故用不等式组表示该题中的不等关系为$\begin{cases}0＜x\leq18,\\x(15-\frac{x}{2})\geq110.\end{cases}$
(2)因为矩形的另一边长为$15-\frac{x}{2}\leq11$，所以$x\geq8$。又因为$0＜x\leq18$，且$x\leq11$，所以$8\leq x\leq11$。

20. 设集合A = {x|-2≤x≤3},B = {x|2 - m≤x≤2m - 3}。
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围；
(2)若A∩B = B,求实数m的取值范围。
(提示：(1)由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得A⊊B,据此列出不等式(组)。(2)由A∩B = B,得B⊆A。因为B中含参数,故注意讨论B = ∅的情况,列出不等式(组)求解)

答案： 20.解：
(1)因为“$x\in A$”是“$x\in B$”的充分不必要条件，所以集合$A$是集合$B$的真子集，故$\begin{cases}2 - m\leq - 2,\\2m - 3\geq3,\end{cases}$且等号不同时成立，解得$m\geq4$，所以实数$m$的取值范围为$\{m|m\geq4\}$。
(2)因为$A\cap B = B$，所以$B\subseteq A$。分以下两种情况讨论：
①当$B=\varnothing$时，$2 - m＞2m - 3$，解得$m＜\frac{5}{3}$，满足题意；
②当$B\neq\varnothing$时，$\begin{cases}2 - m\leq2m - 3,\\-2\leq2 - m,\\2m - 3\leq3,\end{cases}$解得$\frac{5}{3}\leq m\leq3$。
综上，实数$m$的取值范围为$\{m|m\leq3\}$。