《2025年一本预备新高一数学》

【学以致用1】(1) 命题“$ \exists x \in \mathbf{R}, 2x + 2 \leqslant 0 $”的否定是()
A. $ \forall x \in \mathbf{R}, 2x + 2 ＞ 0 $
B. $ \forall x \in \mathbf{R}, 2x + 2 \leqslant 0 $
C. $ \exists x \in \mathbf{R}, 2x + 2 ＞ 0 $
D. $ \exists x \in \mathbf{R}, 2x + 2 \geqslant 0 $

答案：
(1)A
(2)$\exists x＞0,x≤\sqrt {x}$
(1)先将符号“$\exists$”换为“$\forall$”，再将结论“$2x + 2 ≤ 0$”否定，故原命题的否定是“$\forall x∈R,2x + 2 ＞ 0$”。

(2) 命题“$ \forall x ＞ 0, x ＞ \sqrt{x} $”的否定是____.

答案：
(2)先将符号“$\forall$”换为“$\exists$”，再将结论“$x ＞ \sqrt {x}$”否定，故原命题的否定是“$\exists x＞0,x≤\sqrt {x}$”。
【反思总结】全称量词命题的否定，先将全称量词改为存在量词，再否定结论；存在量词命题的否定，先将存在量词改为全称量词，再否定结论。

【学以致用2】(一题多解) 命题“$ \forall x \in \mathbf{R}, \sqrt{x^{2}} = x $”的否定为____命题. (填“真”或“假”)

答案： (一题多解) 真 方法 1：$\sqrt {x^{2}} = |x|$，故命题“$\forall x∈R,\sqrt {x^{2}} = x$”为假命题，其否定为真命题。
方法 2：命题“$\forall x∈R,\sqrt {x^{2}} = x$”的否定是“$\exists x∈R,\sqrt {x^{2}} ≠ x$”，为真命题，如$x$取负数时，$\sqrt {x^{2}} ≠ x$。

【典例1】写出下列命题的否定.
(1) $ \forall x \geqslant 2, x^{2} \geqslant 4 $;
(2) 存在 $ x \in \mathbf{R} $, 若 $ y ＞ 0 $, 则 $ x^{2} + y \leqslant 0 $;
(3) 能被 $ 3 $ 整除的数, 也能被 $ 4 $ 整除.

答案： 解题指导
(1) 和
(2) 先改换量词, 再否定结论;
(3) 先将命题中隐含的量词补出, 然后再改换量词, 否定结论.
答案 解:
(1) $ \exists x \geqslant 2, x^{2} ＜ 4 $.
(2) 任意 $ x \in \mathbf{R} $, 若 $ y ＞ 0 $, 则 $ x^{2} + y ＞ 0 $.
(3) 原命题补上量词为“所有能被 $ 3 $ 整除的数, 也能被 $ 4 $ 整除”, 故该命题的否定为“存在一个能被 $ 3 $ 整除的数, 不能被 $ 4 $ 整除”.