《2025年一本预备新高一数学》

【变式2】已知集合 $ A $ 中有三个元素：$ x,y,1 $. 集合 $ B $ 中也有三个元素：$ 1,x^2,2y $. 若 $ A = B $,求 $ x - y $ 的值.

答案： 解：因为集合 $ A $ 和集合 $ B $ 相等，所以分两种情况讨论：
① $ \begin{cases} x = x^2 \\ y = 2y \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \end{cases} $。
经检验，不满足集合中元素的互异性，舍去。
② $ \begin{cases} x = 2y \\ y = x^2 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{4} \end{cases} $。
经检验，$ x = \frac{1}{2} $，$ y = \frac{1}{4} $ 符合题意。
综上，$ x - y = \frac{1}{4} $。

1. 下列各组对象能构成集合的是 ()
A. 充分接近 $ \sqrt{5} $ 的所有实数
B. 所有的正方形
C. 著名的数学家
D. $ 1,2,3,3,4,4,4,4 $

答案： B 选项 A 中“充分接近”和选项 C 中“著名”均没有明确的判断标准，不能构成集合，故不符合题意。选项 D 不满足集合中元素的互异性，故不符合题意。选项 B 符合题意。

2. 由实数 $ x,-x,|x|,\sqrt{x^2},-\sqrt[3]{x^3} $ 所组成的集合,所含元素的个数最多为 ()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： A 当 $ x ＞ 0 $ 时，$ x = | x | = \sqrt{x^2} $，$ - \sqrt[3]{x^3} = - x $，此时集合中共有 $ 2 $ 个元素；
当 $ x = 0 $ 时，$ x = - x = | x | = \sqrt{x^2} = - \sqrt[3]{x^3} = 0 $，此时集合中共有 $ 1 $ 个元素；
当 $ x ＜ 0 $ 时，$ \sqrt{x^2} = | x | = - \sqrt[3]{x^3} = - x $，此时集合中共有 $ 2 $ 个元素。
综上，此集合所含元素的个数最多为 $ 2 $。

3. (教材改编题)有下列关系：① $ -\frac{4}{3} \in \mathbf{R} $；② $ \sqrt{3} \notin \mathbf{Q} $；③ $ | - 20 | \notin \mathbf{N}^* $；④ $ | - \sqrt{2} | \in \mathbf{Q} $；⑤ $ -5 \notin \mathbf{Z} $；⑥ $ 0 \in \mathbf{N} $. 其中正确的个数为 ()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： B ① $ - \frac{4}{3} \in \mathbf{R} $（实数集），故正确；② $ \sqrt{3} \notin \mathbf{Q} $（有理数集），$ \sqrt{3} $ 为无理数，故正确；③ $ | - 20 | = 20 \in \mathbf{N}^* $（正整数集），故错误；④ $ | - \sqrt{2} | = \sqrt{2} \notin \mathbf{Q} $（有理数集），故错误；⑤ $ - 5 \in \mathbf{Z} $（整数集），故错误；⑥ $ 0 \in \mathbf{N} $（自然数集），故正确。综上，正确的个数为 $ 3 $。

4. (多选)下列说法正确的是 ()
A. $ \sqrt{2} $ 的近似值的全体构成一个集合
B. 自然数集 $ \mathbf{N} $ 中最小的元素是 $ 0 $
C. 在整数集 $ \mathbf{Z} $ 中,若 $ a \in \mathbf{Z} $,则 $ -a \in \mathbf{Z} $
D. 一个集合中不可以有两个相同的元素

答案： BCD 对于 A，$ \sqrt{2} $ 的近似值的全体不具有确定性，不能构成一个集合，故 A 错误；对于 B，由自然数集的定义，得其最小的元素是 $ 0 $，故 B 正确；对于 C，若 $ a \in \mathbf{Z} $，则 $ - a \in \mathbf{Z} $，故 C 正确；对于 D，由集合中元素的互异性，知一个集合中不可以有两个相同的元素，故 D 正确。

5. 已知集合 $ A $ 中的元素为 $ 1,4,a $,且实数 $ a $ 满足 $ a^2 \in A $,则 $ a = $______.

答案： $ - 2 $，$ - 1 $，$ 0 $，$ 2 $ 由 $ a^2 \in A $，分类讨论：当 $ a^2 = 1 $ 时，$ a = \pm 1 $。由集合中元素的互异性，得 $ a = - 1 $。当 $ a^2 = 4 $ 时，$ a = \pm 2 $，都成立。当 $ a^2 = a $ 时，$ a = 0 $ 或 $ a = 1 $。由集合中元素的互异性，得 $ a = 0 $。
综上所述，符合题意的 $ a $ 的值为 $ - 2 $，$ - 1 $，$ 0 $，$ 2 $。

6. 设集合 $ A $ 中元素为 $ 1,2,3 $,集合 $ B $ 中元素为 $ 4,5 $. 若集合 $ M $ 中元素为 $ x $,且 $ x = a + b $,其中 $ a \in A,b \in B $,求集合 $ M $ 中的元素.

答案： 解：因为 $ x = a + b $，其中 $ a \in A $，$ b \in B $，所以 $ a + b $ 的值可能为 $ 1 + 4 = 5 $，$ 1 + 5 = 6 $，$ 2 + 4 = 6 $，$ 2 + 5 = 7 $，$ 3 + 4 = 7 $，$ 3 + 5 = 8 $，所以集合 $ M $ 中的元素有 $ 5 $，$ 6 $，$ 7 $，$ 8 $。