《2025年一本预备新高一数学》

【学以致用1】函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ (a, b) $ 上单调递减, 若 $ x_1, x_2 \in (a, b) $, 且 $ x_1 ＜ x_2 $, 则 ()
A. $ f(x_1) ＜ f(x_2) $
B. $ f(x_1) ＞ f(x_2) $
C. $ f(x_1) = f(x_2) $
D. 以上都有可能

答案： B　因为函数$y = f(x)$在区间$(a,b)$上单调递减，且$x_1 ＜ x_2$，所以$f(x_1) ＞ f(x_2)$。

【学以致用2】(1) 已知函数 $ f(x) = -x|x| + 2x $, 则 $ f(x) $ 的单调递增区间是____, 单调递减区间是____.
(2) 下列函数中, 在区间 $ (0, 1) $ 上单调递减的是____. (填序号)
① $ y = |x| $; ② $ y = 3 - x $; ③ $ y = \frac{1}{x} $; ④ $ y = -x^2 + 4 $.

答案：

(1)$[-1,1]$ $(-\infty,-1]$和$[1,+\infty)$
(2)②③④　
(1)因为函数$f(x) = -x|x| + 2x = \begin{cases}-x^2 + 2x,x\geq0,\\x^2 + 2x,x ＜ 0,\end{cases}$作出函数$f(x)$的图象如图所示,
　　　　　　
　由图可知，函数$f(x)$的单调递增区间是$[-1,1]$，单调递减区间是$(-\infty,-1]$和$[1,+\infty)$。
(2)当$x\in(0,1)$时，函数$y = |x| = x$在$(0,1)$上单调递增。一次函数$y = 3 - x$在$\mathbf{R}$上单调递减，反比例函数$y = \frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递减，二次函数$y = -x^2 + 4$在$(0,+\infty)$上单调递减。