《2025年一本预备新高一数学》

【学以致用1】(多选)下列命题是真命题的是 ()
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 若$x,y$是无理数,则$xy$一定是有理数
C. 若$m＜1$,则关于$x的方程x^{2}+2x+m= 0$有两个负根
D. 两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比

答案： AD 对于A，平行四边形的对角线互相平分，故A正确。
对于B，当$x=\sqrt{3}$，$y=\sqrt{2}$时，$xy=\sqrt{6}$是无理数，故B错误。
对于C，方法1：由关于x的方程$x^{2}+2x+m=0$有两个负根，得$\left\{\begin{array}{l} m＞0,\\ \Delta =4-4m＞0,\end{array}\right. $解得$0\lt m＜1$，故C错误；
方法2（举反例）：当$m=0$时，可求得方程的根为$x_{1}=0$，$x_{2}=-2$，不是两个负根，故C错误。
对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，故D正确。
【反思总结】（1）无理数乘无理数，结果可能是有理数，也可能是无理数。例如，$\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，4为有理数；$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$为无理数。
（2）韦达定理：$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}·x_{2}=\frac{c}{a}$。
（3）判断一个命题是假命题时，只需要举出一个反例。

【学以致用2】下列“若$p$,则$q$”形式的命题中,$p是q$的必要条件的有 ()
①若$x,y$是偶数,则$x+y$是偶数;②若$a＜2$,则关于$x的方程x^{2}-2x+a= 0$有实数根;③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形;④若$ab= 0$,则$a= 0$.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

答案： D 对于①，$x+y$是偶数，不能保证x，y是偶数，x，y也有可能都是奇数，故①不符合题意；
对于②，若关于x的方程$x^{2}-2x+a=0$有实数根，则需满足$\Delta =4-4a≥0$，即$a≤1$，故②符合题意；
对于③，若四边形是菱形，则四边形的对角线互相垂直，故③符合题意；
对于④，若$a=0$，则$ab=0$，故④符合题意。